8-TVD格式

1§8.TVD格式8.1守恒格式将上一节的统一格式改写成()()11111211222nnnnnnnjjjjjjjttuuauuuuuxx++-+-DD=--+-+DD注意到22221ttaxxtaxìïïïïïïïïïDDïï=íïDDïïïïïDïïïDïïîLax格式迎风格式Lax-Wendroff格式于是可以定义函数()21Qxxxìïïïïïïïïï=íïïïïïïïïïîLax格式迎风格式Lax-Wendroff格式（注）通量差分格式里介绍过的熵修正函数，可以看成是函数()Qx的第四种形式，所以当时也用了相同的记号。2利用函数()Qx，统一格式可写成()()1111111222nnnnnnnjjjjjjjttuuauuQauuuxx++-+-骣DD÷ç÷=--+-+ç÷ç÷çDD桫如果再记fau=，则()()()()111111111112221222nnnnnnnjjjjjjjnnnnjjjjnnnnnjjjjjtuuffQuuuxfffftuQuuuux++-+-+-+-D=--+?+D骣++÷Dç轾÷ç=--+?--÷ç犏÷臌çD÷ç桫将格式写成这种形式，是为了便于推广到非线性的情形。对于非线性标量方程，()()aaufu¢==是变量，定义数值通量()()112211122nnjjnnnnjjjjffxfQauut+++++D=--D3()()112211122nnjjnnnnjjjjffxfQauut----+D=--D式中()121111,,nnjjnnjjnnjjnjnnnjjjffuuuuafuuu+++++ìï-ïï¹ïï-ïï=íïïï¢=ïïïïî()121111,,nnjjnnjjnnjjnjnnnjjjffuuuuafuuu-----ìï-ïï¹ïï-ïï=íïïï¢=ïïïïî就有守恒格式()11221nnnnjjjjtuuffx++-D=--D8.2显式TVD格式充分条件一：显式格式()()1122111nnnnnnjjjjjjjjuuCuuCuu++-+-+-=+---具有TVD性质的充分条件是0C+³，0C-³，1CC+-+?4【证明】根据全变差的定义，()()()()()()()()()3122112232112211111211111211nnnjjjnnnnnjjjjjjjjnnnnnjjjjjjjnnnnjjjjjjnnjjjjTVuuuuCuuCuuuCuuCuuuuCuuCCuuC+?++++=-?+?+-++++++=-?+-+-+-+?+++++=-?+-+++=-轾=+---犏臌轾-+---犏臌=-+--+-+ååå()()()()()()(){()()}()()121122312211223122112231121112111111nnjjjnnjjjjjnnnnjjjjjjnnjjjjjnnnnjjjjjjnnjjjjjjuuCCuuCuuCuuCCuuCuuCuuCCuuC---+?+-+++=-?+-++-+-+?+-+++=-?+-++-+-+?+-+++=-?+-=---+-+-?--+-+-=---+ååå()()122211nnnnjjjjjjjuuCuu+??+-++--=-?-?-+-邋如果判据成立，则上式中各项系数都是非负的，可以从绝对值里面提出来，得到，5()()11223122112111nnnjjjjjnnnnjjjjjjjjTVuCCuuCuuCuu+?++-+++=-?+??+-++-+-=-?-??--+-+-å邋注意到，对于无限求和，求和指标可以调整，就有()()()11221122111111nnnjjjjjnnnnjjjjjjjjnnnjjjTVuCCuuCuuCuuuuTVu+?++-+++=-?+??+-++++=-?-?+?+=-??--+-+-=-=å邋å所以显式格式是TVD的。将上面给出的判据应用于守恒格式()()()()()()()()()()()()112212121212111111111122112211221122nnnnjjjjnnnnnnjjjjjjnnnnnjjjjjnnnnnnjjjjjjnnnjjjtuuffxtxuffQauuxttxffQauuxttuQauuffxtQauux++-+++---+++--D=--D轾DD犏=-+--犏DD臌轾DD犏++--犏DD臌D=+---DD---D()1nnjjff--6利用12nja±的表达式，就有()()()()()()()()()()1122112211221122111111112121212nnnnnnnnjjjjjjjjnnnnnnjjjjjjnnnnnjjjjjnnnnjjjjtuuQauuauuxtQauuauuxtuQaauuxtQaauux+++++----+++---轾D犏=+---犏D臌轾D犏--+-犏D臌轾D犏=+--犏D臌轾D犏-+-犏D臌由此可以看出（注意C-的下标要从12j-调整为12j+），()11122212nnjjjtCQaax++++轾D犏=-犏D臌，()11122212nnjjjtCQaax-+++轾D犏=+犏D臌所以，函数()12tCQaax+轾D犏=-犏D臌，()12tCQaax-轾D犏=+犏D臌于是刚才给出的判据成为()0tQaaxD背D，()1Qa£即()1taQaxD＃D7这就是显式TVD格式的判据。这一结果表明：显式TVD格式的下限就迎风格式，具有最少的格式粘性。Lax-wendroff格式没有落在上述范围之内，所以它不是TVD格式。熵修正函数满足显式TVD格式的判据。因此，使用熵修正函数不会破坏格式的TVD性质。在显式TVD格式的判据中，0C+³、0C-³（也就是()tQaaxD³D）是实质性的，而1CC+-+?（即()1Qa£）只不过是保证显式格式稳定性的CFL条件。8.3隐式TVD格式充分条件二：对于01＃，隐式格式()()()()()()()()()11221122111111111111nnnnnnnnjjjjjjjjnnnnnnjjjjjjuuCuuCuuCuuCuu++++++-+++-+-+-+-+-轾犏=+---犏臌轾犏+----犏臌具有TVD性质的充分条件是80C+³，0C-³，()()11CC+--+?【证明】将隐式格式改写成()()()()()()()()()11221122111111111111nnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjuCuuCuuuCuuCuu++++++-+++-+-+-+-+-轾犏----犏臌轾犏=+----犏臌所以()()()()()()()()()()()()()3122112231221111111121111111111112111nnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjnnnnnnnjjjjjjjuCuuCuuuCuuCuuuCuuCuu++++++-++++++++++++++-+++-+-+-++++++禳轾镲镲犏----睚犏镲镲臌铪禳轾镲镲犏-----睚犏镲镲臌铪=+----()()()()()1122111nnnnnnnjjjjjjjuCuuCuu+-+-+-禳轾镲镲犏睚犏镲镲臌铪禳轾镲镲犏-+----睚犏镲镲臌铪即()()()()()()()11223122111111111112111++nnnnjjjjnnnnnnjjjjjjCCuuCuuCuu+++-+++++++-++-++++-+-轾犏-犏臌----9()()()()()()()()()()()11223122121111111nnnnjjjjnnnnnnjjjjjjCCuuCuuCuu+-++++-++-+-轾犏=-----犏臌+--+--将上式取绝对值并无限求和，就是()()()()()()()()()()()()()()()()()1122312211223122111111111112111211++11111nnnnjjjjjnnnnnnjjjjjjnnnnjjjjjnnnnjjjjCCuuCuuCuuCCuuCuuC+?+++-+++++=-?++-++-++++-+-+?+-+++=-?+-+++-轾犏-犏臌----轾犏=-----犏臌+--+-åå()1nnjjuu--将上式的左右两端分别记作L和R。先来看左边。利用不等式()abcabcabcabc--=--?-?-有()()()()()()()11223122111111111112111++nnnnjjjjjnnnnnnjjjjjjLCCuuCuuCuu+?+++-+++++=-?++-++-++++-+-ì轾ïï犏?í犏ïï臌îüïï----ýïïþå10()()()()()()()11223122111111111112111++nnnnjjjjjnnnnnnjjjjjjjjCCuuCuuCuu+?+++-+++++=-?+??++-++-++++-+-=-?-?轾犏=-犏臌----å邋如果0C+³，0C-³，则因为0³，上式中各项系数都是非负的。类似于显式格式的证明过程，可以推出，()()()()()()()11223122112212111111111112111111111++1++nnnnjjjjjnnnnnnjjjjjjjjnnnnjjjjjnjLCCuuCuuCuuCCuuC+?+++-+++++=-?+??++-++-++++-+-=-?-?+?+++-+++++=-?+-+轾犏?犏臌轾轾犏犏----犏犏臌臌轾犏=-犏臌éê-êëå邋å()()1211111111111nnnnnjjjjjjjnnnjjjuuCuuuuTVu+??+++-+++++=-?-?+?++++=-?---=-=邋å另一方面，在判据成立的条件下，可以推出()10C+-?，()10C--?，()()11CC+--+?于是，右端R中各项系数也都是非负的。还是类似于显式格式，有()1nnnjjjRuuTVu+?+=-??=å11（注）当1=时，直接有()1nnnjjjRuuTVu+?+=-?=-=å。综合起来，就得到()()1nnTVuLRTVu+??所以隐式格式是TVD的。将守恒格式推广成隐式格式()()()111122221111nnnnnnjjjjjjttuuffffxx++++-+-DD=-----DD其中数值通量121njf+±的表达式与12njf±类似，只是将上标换成了1n+。这一隐式格式具有TVD性质的充分条件就是()11taQaxD＃D-（01＃）对于显式格式（0=），上式就是前面给出的条件()1taQaxD＃D对于完全隐式格式（1=），函数Q的值没有上限，只需()taQaxD£D12对于平均隐式格式（12=），就是()2taQaxD＃D8.5TVD格式的设计上一节关于格式粘性的讨论，是针对含激波的流场，而且仅限于激波附近。对于光滑的流场，以及含激波流场中远离激波的区域，我们还是希望数值格式能够有较高的精度。为此，重点考察具有二阶精度、不带格式粘性的Lax-Wendroff格式()()2121111211222nnnnnnnjjjjjjjttuuauuauuuxx++-+-DD=--+-+DD和格式粘性最少的迎风格式()()1111111222nnnnnnnjjjjjjjttuuauuauuuxx++-+-DD=--+-+DD它们的右端项之差为()()()221121111222112nnnjjjnnnnjjjjttaauuuxxttaauuuuxx+-+-骣DD÷ç÷--+ç÷ç÷çDD桫骣DD÷轾ç÷=----ç犏÷ç÷臌çDD桫13所以，在Lax-Wendroff格式右端加上这样一项，就能得到迎风格式。由于这一项的作用类似于格式粘性，但不是格式本身就有的，而是人为加上的，所以称为人工粘性（人为粘性）。反过来，如果从迎风格式