13第2章时域中的离散时间信号

数字信号处理1第二章时域中的离散时间信号2.1离散时间信号——序列...........................................................23.1常用基本序列举例...................................................................32.2序列的运算（基本运算和组合运算）...................................82.3序列分类.................................................................................41时域中的离散时间信号22.1离散时间信号——序列离散时间信号是指时间变量是离散的信号，即独立变量时间被离散了。一般来讲，离散时间的间隔是均匀的。本课程名为数字信号处理，实际上，大部分内容是讨论时域离散信号与系统的，幅度量化的影响在课程的教材中有专门章节讨论。离散时间信号只在抽样的瞬时时刻给出函数值，其在时间上是不连续的序列。通常情况下，离散的时间间隔都是均匀的，以T表示，用nTx表示离散时间信号在nT时刻的值。由于可以将这些值放在存贮器中，供以后随时调用，以进行“非实时”处理，因而可以用nx表示第n个离散点的值，通常将序列表示成nx。但为了方便，直接用nx表示序列。xn只在n为整数时才有意义。数字信号处理3n不为整数时是没有定义的，不能认为xn＝0。离散时间信号——序列，可以用图形来描述。如图一所示，横轴为n，纵轴的长短代表序列值的大小。3.1常用基本序列举例为了分析的需要，数字信号处理中经常用到一些基本序列，它们的定义为：1、单位抽样序列n0,00,1nnn注意与单位冲激函数t的区别。t是脉冲宽度趋于0，幅度趋于无穷大，面积为1的函数，是极限概念的信号。δ(n)n00nx(n)n-3-2-101234图一离散时间信号时域中的离散时间信号42、单位阶跃序列nu注意与单位阶跃函数tu的区别。tu在t=0处常常是不给予定义的。3、矩形序列1,010,othersNnNRn4、实指数序列nanx，a为实数U(n)nR(n)n0N0,00,1nnnu数字信号处理55、复指数序列njenx06、正弦型序列0cosnAnx式中,,0A，分别是信号的幅度、频率、初相位。7、周期性序列如果对所有的n,存在一个最小的正整数N，满足kNnxnxk为任意整数。则称序列nx是周期为N的周期性序列。例如，正弦型序列0cosnAnx，式中,,0A，分别是信号的幅度、频率、初相位。时域中的离散时间信号6000coscosNnANnANnx如果kN20＝，k为整数时，满足Nnxnx，此时，正弦序列就是周期性序列，其周期满足kNkN,(20＝必须为整数)。正弦型序列的周期性可分为下面几种情况：A.当02为整数时，k=1即可得到最小的N，使kN20＝，02N为其周期；（例如，kkN82,4/00，k＝1，N＝8）B.当02不是整数，而是一个有理数(可表示成分数)，数字信号处理7PQ02,其中Q,P互为素数。要使kPQkN＝＝02为整数，则k=P时可得到最小的N，此时，正弦型序列的周期为Q。（例如，kkN5382,19/500，k＝5，N＝38）C.当02为无理数时，任何整数k均不能使kN20＝成立，此时，正弦序列不是周期型序列。（例如，02，任何整数k值都不能使，N02k成立）8、随机序列许多实际序列是不能象上面的例子一样用数学式子来描述的。这些序列称为随机序列，随机序列用概率密度函数或统计矩来表征。时域中的离散时间信号82.2序列的运算（基本运算和组合运算）序列的运算有移位、翻褶、和、积、累加、差分、卷积和、抽取、插值等。1、序列的移位设某一序列为nx，有一整数m，当m为正时，mnx是指原序列逐项依次延时（右移）m位后得到的新序列，而mnx则是指序列依次超前（左移）m位后得到的新序列。数字信号处理9〖例1〗A.3,3,nnn；n03-n03-33n03-3n03-n03-33n03-3时域中的离散时间信号10B.2,2,nUnUnUu(n)0012u(n-2)0u(n+2)数字信号处理110u(n)101u(-n)0u(n)101u(-n)2、序列的翻褶如果序列为nx，则nx是以n=0的纵轴为对称轴将序列加以翻褶。〖例2〗A.nunu－,时域中的离散时间信号12003-303-3X(n)Y(n)Z(n)10.50.253210.51.52.25003-303-3X(n)Y(n)Z(n)10.50.253210.51.52.253、序列的和两序列的和是指相同序号（n）的序列值逐项对应相加。表示为：nynxnz〖例3〗1,01,2121nnnxn,0,10,2nnnnyn0,121211,231,2nnnnnynxnznn数字信号处理134、序列的积（调制）两序列相乘是指相同序号（n）的序列值逐项对应相乘。表示为：nynxnz〖例4〗1,01,2121nnnxn,0,10,2nnnnyn0,211211,211,0nnnnnynxnzn时域中的离散时间信号14〖例5〗A.矩形序列others,010,1NnnRN表示为单位阶跃序列的和NnunuNnnRN＝others,010,1B.)1(21211,01,2121nunnnxnn5、倍率（标量乘法）在此运算中，每一采样值乘以一个常数a数字信号处理15naxnxa〖例6〗1,01,2121nnnxn，则1,01,2124nnnxn。时域中的离散时间信号166、累加如果序列为nx，其累加序列定义为：nkkxny＝即序列ny在任一点的值为nx在该点的值与该点之前的所有点的值之和。〖例7〗;nunx则nunkxnynk1＝数字信号处理177、差分运算前向差分;1nxnxnx后向差分;1nxnxnx由前向差分和后向差分的定义可以看出：1－nxnx〖例8〗;nunx则nnxnnx;1-0.50∆x(n)=x(n+1)-x(n)前向差分1-0.25-1-2120x(n)10.50.2512-1-2-0.50∆x(n)=x(n+1)-x(n)前向差分1-0.25-1-212-0.50∆x(n)=x(n+1)-x(n)前向差分1-0.25-1-2120x(n)10.50.2512-1-20x(n)10.50.2512-1-20▽x(n)=x(n)-x(n-1)后向差分1-0.25-1-212-0.50▽x(n)=x(n)-x(n-1)后向差分1-0.25-1-212-0.5时域中的离散时间信号188、卷积和卷积和运算在系统分析中具有重要作用。在已知系统单位冲击响应条件下，求系统在一定输入信号激励下的输出，就要用到卷积和运算。设有二序列nynx，，则其卷积和定义为：mmmmnmmmnxmynxnymnxmymymnxmnymxnynxnz＝＝.卷积运算在离散时间系统中经常用到，它是线性时不变系数字信号处理19统在时域中由冲激响应计算零状态响应的基本方法。注意反褶—移位运算！))((,0mnxnmxnxmnxnxm分别画出各自的波形。以1m为例。012nX(n)012nX(n-1)012nX(-n)-1X(-(n-1))对折轴012nX(n)012nX(n)012nX(n-1)012nX(-n)-1X(-(n-1))对折轴时域中的离散时间信号20〖例9〗任意序列与单位抽样序列的卷积和。nhmnmhnnhm只有当m=n时，才有1mn,故上式成立。或：nhmnhmnnhm即任意序列与单位抽样序列的卷积仍为原序列。0000mmhnnnhmnmnhmnnmhnn0000mnmhnnnmnhnmhnn时有值数字信号处理21即任意序列与延时0n时刻的单位抽样序列的卷积为原序列延时0n时刻。（物理含义？）时域中的离散时间信号22〖例10〗任意序列与短序列的卷积和。()xnfn解：直接数学计算()[21][21]2121mmmxnfnxnnnmmxnmmxnmmxnmxnxn（物理含义？）0123x(n)1/213/2401f(n)1nn12x2(n)0123123n240123x(n)1/213/2401f(n)1nn12x2(n)0123123n24数字信号处理23图解（反褶-平移的根源）：0123x(n)1/213/24n10101f(n)1n201fx2(n)0123123n240123240123x(n)1/213/24n101n=00123x(n)1/213/24n10101f(-n)1n201f∑x(n)*f(n)0123n240123240123x(n)*f(n)4n01n=0(反褶运算一点的卷积值)220123x(n)1/213/24n10101f(n)1n201fx2(n)0123123n240123240123x(n)1/213/24n101n=00123x(n)1/213/24n10101f(-n)1n201f∑x(n)*f(n)0123n240123240123x(n)*f(n)4n01n=0(反褶运算一点的卷积值)22时域中的离散时间信号240123x(n)1/213/24n10101f(n)1n201fx2(n)0123123n240123240123x(n)1/213/24n101n=20123x(n)1/213/24n10101f(-n)1n201f0123x(n)1/213/24n10101f(2-n)1n20f2012312n2401234012314n01n=2(反褶移位累加)x(n).*f(n)∑x(n)*f(2-n)0123x(n)1/213/24n10101f(n)1n201fx2(n)0123123n240123240123x(n)1/213/24n101n=20123x(n)1/213/24n10101f(-n)1n201f0123x(n)1/213/24n10101f(2-n)1n20f2012312n2401234012314n01n=2(反褶移位累加)x(n).*f(n)∑