§2.3 极限应用的一个例子-连续函数

§2.3极限应用的一个例子——连续函数连续函数的概念反函数和复合函数的连续性初等函数的连续性2.3.1连续函数的概念1.连续函数的两个定义设函数y=f(x)的定义域为X,如图所示x=xx0,称为自变量,在点x0的改变量或增量.xy00xxx0)(xfyxyy=f(x)f(x0)或y=f(x0+x)f(x0)称为函数的改变量或增量.设函数f(x)在点x0的邻域内有定义,当xx0时f(x)的极限存在,且等于该点处的函数值f(x0),即定义1则称函数f(x)在点x0处连续,x0称为函数f(x)的连续点.如果函数在某一区间的任意一点都连续,则称此函数是该区间上的连续函数.)()(lim00xfxfxx连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例1.证明函数0,00,1sin)(xxxxxf在x=0处连续.[证]01sinlim0xxx又f(0)=0,则)0()(lim0fxfx由定义1知,函数f(x)在x=0处连续.,则称函数f(x)在点x0处连续设函数f(x)在点x0的邻域内有定义,当x=xx00时,y=f(x)f(x0)0,即定义20lim0yx函数在一点处连续的本质特征:自变量变化很小时,函数值的变化也很小.例2.证明正弦函数y=sinx在区间(,+)内连续.[证]任取x(,+),y=sin(x+x)sinx)2cos(2sin2xxx1)2cos(xx2sin2xy由于|sin|≤||，当x0时,y0则|y||x|.,即sinx在点x处连续.由x的任意性,命题得证.2.函数的间断点由定义1,函数f(x)在点x0处连续应同时满足三个条件：(1)f(x)在点x0处有定义(2))(lim0xfxx存在(3))()(lim00xfxfxx如果这三个条件至少有一个不满足,则称函数f(x)在点x0间断,x0称为函数的间断点.例如,函数xy1在x=0处无定义所以x=0是该函数的间断点.例如,函数xysgn在x=0处极限不存在,所以x=0是该函数的间断点.另:第二个条件可以用“左、右极限存在且相等”来代替,用于讨论分段函数的连续性.例3.讨论函数0,10,)(xxxxxf在x=0处的连续性.oxy解：0)(lim0xfx1)(lim0xfx左、右极限存在但不相等,故)(lim0xfx不存在,即该函数在x=0处间断.例4.,0,0,3)(2xxaxxxf设问a为何值时,f(x)在x=0连续.解:f(0)=3)00(f)(lim0xfx)3(lim20xx=3为使f(x)在x=0连续,必须f(0–0)=f(0)=f(0+0)即,a=3.故a=3时,f(x)在x=0连续.)00(f)(lim0xfx)(lim0xax=a或f(x)在点x0处无定义,则称点x0为函数f(x)的可去间断点.间断点的类型1.跳跃间断点如果f(x)在点x0左、右极限都存在,但,则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点。如例32.可去间断点如果f(x)在点x0处的极限存在,但)()(lim00xfAxfxx)(lim)(lim00xfxfxxxx跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:函数在点x0处的左、右极限都存在.第一类间断点oyx跳跃型0x可去型oyx0x第二类间断点如果f(x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在,则称点x0为函数f(x)的第二类间断点.oyx无穷型振荡型第二类间断点oyx0x例.确定函数间断点的类型.xxexf111)(解:间断点1,0xx)(lim0xfx,0x为无穷间断点;,1时当xxx1,0)(xf,1时当xxx1,1)(xf故1x为跳跃间断点.,1,0处在x.)(连续xf2.3.2连续函数求极限的法则设函数f(x)在点x0处连续,则)()(lim00xfxfxx00limxxxx)lim()()(lim000xfxfxfxxxx连续函数求极限的法则：连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值（极限符号可以与函数符号互换）.例1.求xxcoslim解：可以证明，函数cosx在(-∞,+∞)内为连续函数.函数cosx在点x=处连续.则)limcos(coslimxxxx=cos=12.3.3初等函数的连续性1.连续函数的四则运算2.反函数和复合函数的连续性3.初等函数的连续性(g(x0)0)在点x0处也连续.1.连续函数的四则运算若函数f(x),g(x)在点x0处连续,则f(x)g(x),f(x)g(x),)()(xgxf例如，sinx,cosx在(,+)内连续,故tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续.2.反函数和复合函数的连续性定理1单调连续函数的反函数仍是单调连续函数.例如,y=sinx在[/2,/2]上单调增加且连续,故y=arcsinx在[1,1]上也单调增加且连续.同理y=arccosx在[1,1]上单调减少且连续,y=arctanx,y=arccotx在(,+)上单调且连续.定理2连续函数的复合函数仍是连续函数.例如,xu1在(,0)∪(0,+)内连续,y=sinu在(,+)内连续,xy1sin在(,0)∪(0,+)内连续.3.初等函数的连续性常数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.指数函数y=ax(a0,a1)在(,+)内单调且连续.对数函数y=logax(a0,a1)在(0,+)内单调且连续.幂函数y=xxaalog而y=au,u=logax在(0,+)内连续.讨论不同值,幂函数均在其定义域内连续.可知,所有基本初等函数在其有定义的区间内连续.进一步,初等函数在其有定义的区间内连续.是初等函数,在点x0=1处有定义例.求1sinlim1xxe解：原式=1sin1e1sine1sinxey故在x0=1处连续由连续函数求极限的法则,有思考题设0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知f(x)在x=0处连续,试确定a和b的值答案：(a=1,b=e)2.3.4闭区间上连续函数的性质一、最大值和最小值定理二、介值定理1.最大值和最小值定理定理1(最大值和最小值定理)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.bxyo)(xfyax1x2至少存在一个最高点(x1,f(x1))和最低点(x2,f(x2)),使得x[a,b],有f(x1)≥f(x)f(x2)≤f(x).1.若区间不是闭区间,定理不一定成立2.若区间内有间断点,定理不一定成立注意:xyo)(xfy211xyo2)(xfy,但它既存在最大值,也存在最小值.推论(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.0,10,00,1sgn)(xxxxxf例如,符号函数不是连续函数应注意条件与结论之间的逻辑关系.2.介值定理定理2(介值定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b),为介于f(a)与f(b)之间的任意一个数,即f(a)f(b)或f(a)f(b),则至少存在一个内点(a,b),使得f()=.axyo)(xfyb123连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=至少有一个交点.推论(根的存在定理)若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,则至少存在一个内点(a,b),使得f()=0.ab321xyo)(xfy连续曲线弧y=f(x)的两个端点位于x轴的两侧,则曲线弧与x轴至少有一个交点若方程f(x)=0左端的函数f(x)在闭区间[a,b]两个端点处的函数值异号,则该方程在开区间(a,b)内至少存在一个根.应用:例1.证明方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.[证]令f(x)=x34x2+1，则f(x)在区间[0,1]上连续.又f(0)=1f(1)=2由根的存在定理,(0,1),使f()=0.即342+1=0.故方程x34x2+1=0在区间(0,1)内至少有一根.0,0,例2.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b,证明(a,b),使f()=.[证]令F(x)=f(x)x,则F(x)在[a,b]上连续.而F(a)=f(a)a0,F(b)=f(b)b0.由根的存在定理,(a,b),使F()=f()=0,即f()=.例3.至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.