14二维正态分布正态随机变量线性函数的分布中心极限定理

概率论与数理统计习题册解答第四章正态分布231４二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理一、设二维随机变量),(YX服从二维正态分布，已知0)()(YEXE，16)(XD，25)(YD，并且12),cov(YX，求),(YX的联合概率密度．解：已知0yx，416x，525y，53),cov(),(yxYXYXr．从而2516)53(1122r，5412r．进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(yyyxyxxxyyxrxryxeryxf，可得),(YX的联合概率密度为)2550316((322522321),(yxyxeyxf．二、设随机变量X与Y独立，并且)1,0(~NX，)2,1(~2NY．求随机变量32YXZ的概率密度．解：由题设，有0)(XE，1)(XD，1)(YE，4)(YD．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()(EYEXEYXEZE．8)3()()(4)32()(DYDXDYXDZD．且)8,2())(,)((~NZDZENZ，故随机变量32YXZ的概率密度为16)2(82)2(2241821)(zzZeezf)(z．三、台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X(mm)表示轴的直径，随机变量Y(mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2NX，)4.0,52(~2NY，显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．解：由题设，知随机变量X与Y是独立的，且)3.0,50(~2NX，)4.0,52(~2NY．设XYZ根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222NNZ．根据题目假设，我们知道当31XYZ时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31(ZPZPZP9544.019772.02．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：（1）任一时刻有70至86台车床在工作的概率；概率论与数理统计习题册解答第四章正态分布24（2）任一时刻有不少于80台车床在工作的概率．解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B．808.0100E．16)8.01(8.0100D．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0P927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0（2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0PP)20()0(2)20()0(11,01,01,01,05.015.02．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问：（1）保险公司亏本的可能性是多大？（2）保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？解：设X表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~BX．60006.010000EX．84.59)006.01(006.010000DX．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000(PXPXP0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0ΦΦΦ．即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(XPXPXP9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1(．即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．