14年北京东城区高三数学一模(理)含答案

1东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学（理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|1621x}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(CRB)＝A．(1，4)B．(3，4)C．(1，3)D．(1，2)2．已知i是虚数单位，若),i1(zi3则z=A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2i3．设aR，则“a＝-2”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A.34B.2C.4D.45．设a，b是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|6．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为2A.22B.23C.4D.257已知抛物线1C：212yxp(0)p的焦点与双曲线2C：2213xy的右焦点的连线交1C于第一象限的点M,若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线，则pA.316B.38C.233D.4338．设a＞0，b＞0．[A．若2223abab，则a＞bB．若2223abab，则a＜bC．若2223abab，则a＞bD．若2223abab，则a＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．记等差数列{}na的前n项和为nS，已知2446,10aaS.则_______a10．10．如图，PA与圆O相切于A，不过圆心O的割线PCB与直径AE相交于D点.已知∠BPA=030，2AD，1PC,则圆O的半径等于．11.若函数()xfxkxe有零点，则k的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622yxyx,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_______________.13．已知231(1)nxxxx的展开式中没有．．常数项，n*N，且2≤n≤7，则n=______．14．设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝______________．3三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设ABC△的内角ABC，，所对的边长分别为abc，，，且3coscos5aBbAc．（Ⅰ）求tanBtanA的值；（Ⅱ）求tan()AB的最大值．16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望.17．(本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（Ⅰ）求证：平面ABM⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（Ⅲ）求点N到平面ACM的距离.418.（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xfxaxxx，其中0a若()fx在x=1处取得极值，求a的值；求()fx的单调区间；（Ⅲ）若()fx的最小值为1，求a的取值范围.19．(本小题满分14分)椭圆C：2222+1xyab(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．20.（本题满分12分）在数列}b{},a{nn中，a1=2，b1=4，且1nnnaba，，成等差数列，11nnnbab，，成等比数列（n*N）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出}b{},a{nn的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.125ba1ba1ba1ba122nn3322115东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案（理科）一、选择题：1．B；2．D；3．A；4．C；5．C；6．C；7．D；8．A．（第8题的提示：若2223abab，必有2222abab．构造函数：22xfxx，则2ln220xfx恒成立，故有函数22xfxx在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题：9．10；10．7；11.0.kek或；12.206；13．5；14．23a（第14题的提示:函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x2－ax－1都过定点P(0，-1)．函数y1＝(a－1)x－1：过M(11a，0)，可得：a＞1；函数y2＝x2－ax－1：显然过点M(11a，0)，得：23a0或者a，舍去0a，）三、解答题：15．(本小题满分13分)（Ⅰ）在ABC△中，由正弦定理及3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsin()sincoscossin5555ABBACABABAB即sincos4cossinABAB，则tanBtanA=4.--------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan4tan0AB,434tanBtanB13B4tan13tanBtanAtanB1tanBtanA)BA(tan2当且仅当,2tanB,4tanBtanB1时，等号成立，故当1tan2,tan2AB时，tan()AB的最大值为34.--------13分616．(本小题满分13分)（I）从甲组抽取2人,从乙组抽取1人.--------2分（II）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311CC1P21026--------5分（III）的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75CCPCC,1112146342212110510528(1)75CCCCCPCCCC，21622110510(3)75CCPCC,31(2)1(0)(1)(3)75PPPP0123P75675287531751058E.--------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD--------5分方法一：（Ⅱ）由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点可得,22AM，2223MCMDCD则1262ACMSAMMC设D到平面ACM的距离为h，由DACMMACDVV即268h，可求得263h，NODMCBPA7设所求角为，则6sin3hCD.--------10分(Ⅲ)可求得PC=6,因为AN⊥NC，由PNPAPAPC，得PN83,所以:5:9NCPC,故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的59.又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（Ⅱ）可知所求距离为5106927h.--------14分方法二：（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M；设平面ACM的一个法向量(,,)nxyz，由,nACnAM可得：240220xyyz，令1z，则(2,1,1)n.设所求角为，则6sin3CDnCDn.--------10分（Ⅲ）由条件可得，ANNC.在RtPAC中，2PAPNPC,所以83PN,则103NCPCPN,59NCPC，所以所求距离等于点P到平面CAM距离的59，设点P到平面CAM距离为h则263APnhn，所以所求距离为5106h927.--------14分18.（本小题满分14分）zyxNODMCBPA8（Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx∵()fx在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,faa即解得1.a--------4分（Ⅱ）222'(),(1)(1)axafxaxx∵0,0,xa∴10.ax①当2a时，在区间(0,)'()0,fx上，∴()fx的单调增区间为(0,).②当02a时，由22'()0,'()0,aafxxfxxaa解得由解得∴()),aafxaa2-2-的单调减区间为（0，单调增区间为（，）.--------10分（Ⅲ）当2a时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;fxf的最小值为当02a时，由（Ⅱ）②知，()fx在2axa处取得最小值2()(0)1,affa综上可知，若()fx得最小值为1，则a的取值范围是[2,).--------14分19．(本小题满分14分)(Ⅰ)由题：12cea；(1)左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：22(2)1dc10．(2)由(1)(2)可解得：222431abc，，．∴所求椭圆C的方程为：22+143xy．--------5分9(II)设1122(,),(,)AxyBxy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0mkkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmkxxmkxxmk以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D1ADBDkk，1212122yyxx，1212122()40yyxxxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222,7kmkm，且满足22340km.当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lykx，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7--------14分20.（本题满分12分）（Ⅰ）由条件得21112nnnnnnbaaabb，由此可得2233446912162025ababab，，，，，．猜测2(1)(1)nnannbn，．··