163-高中数学选修系列2选修2-2《微积分学基本定理定积分计算》教案1

精品教学网页§5微积分学基本定理定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。教学方法：讲练结合。本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一变限积分与原函数的存在性设f在ba,上可积，根据定积分的性质4，对任何bax,，f在xa,上也可积.于是，由,dttfxxabax,（1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分：,dttfxbxbax,.（2）与统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x写成dxxfxa，以免与积分上、下限的x相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于,dttfdttfbxbx因此下面只讨论变上限积分的情形．定理9．9若f在ba,上可积，则由(1)式所定义的函数在ba,上连续．证对ba,上任一确定的点x，只要baxx,，按定义式(1)有.dttfdttfdttfxxxxaxxa因f在ba,上有界，可设batMtf,,．于是，当0x时有;xMdttfdttfxxxxxx当0x时则有xM．由此得到,0lim0x即证得在点x连续．由x的任意性，在ba,上处处连续．口定理9．10(原函数存在定理)若f在ba,上连续，则由(1)式所定义的函数在ba,上处处可导，且.,,baxxfdttfdxdxxa（3）证对ba,上任一确定的x，当0x且baxx,时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有精品教学网页.10,1xxfdttfxxxxx由于f在点x连续，故有.limlim00xfxxfxxxx由x在ba,上的任意性，证得是f在ba,上的一个原函数．口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必满足.CdttfxFxa若在此式中令ax，得到aFC，从而有).()(aFxFdttfxa再令bx,有).()(aFxFdttfba这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11(积分第二中值定理)设函数f在ba,上可积.(ⅰ)若函数g在ba,上减,且0xg,则存在ba,,使dxxfagdxxgxfaba(ⅱ)若函数g在ba,上增,且0xg,则存在ba,,使dxxfbgdxxgxfbba推论设函数f在ba,上可积,若函数g为单调函数,则存在ba,,使dxxgxfbadxxfbgxfagba积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二换元积分法与分部积分法定理9．12(定积分换元积分法)若函数f在ba,上连续，在,上连续可微，且满足,,,,tbtabbaa，精品教学网页则有定积分换元公式：dtttfdxxfba（9）证由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F是f在ba,上的一个原函数，由复合函数微分法ttfttFtFdtd可见tF是ttf的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得aFFdtttfdxxfaFbFba从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注如果在定理9．12的条件中只假定f为可积函数，但还要求是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例计算.1102dxx解令txsin，当t由0变到2时，x由0增到1，故取.2,0,应用公式(9)，并注意到在第一象限中0cost，则有tdttdttdxx202202102coscossin1120202sin21212cos121ttdtt.4例2计算202.cossintdtt解逆向使用公式(9)，令,sin,costdtdxtx当t由0变到2时，x由1减到0，则有.31cossin102200122dxxdxxtdtt精品教学网计算.11ln102dxxxJ解令txtan，当t从0变到4时，x从0增到1.于是由公式（9）及21xdxdt得到dttttdttJ4040cossincoslntan1lndttt40cos4cos2ln.cosln4cosln2ln404040dttdttdt对最末第二个定积分作变换tu4，有dtt404cosln4004,coslncoslnududuu它与上面第三个定积分相消．故得.2ln82ln40dtJ事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题．定理9.13(定积分分部积分法)若xvxu,为ba,上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：.dxxvxuxvxudxxvxubababa（10）证因为uv是vuvu在ba,上的一个原函数，所以有dxxvxuba+dxxvxubadxxvxuxvxubabaxvxu.移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成xdvxubabaxvxu.xduxvba（01）精品教学网解dxxxxxxdxdxxeeee12131312ln31ln31ln.129131313133exee例5计算dxxn20sin和.,2,1,cos20nxdxn解当2n时，用分部积分求得202220120cossin1cossinsinxdxxnxxxdxJnnnnxdxnxdxnnn20202sin1sin1.112nnJnJn移项整理后得到递推公式：.2,12nJnnJnn由于,1sin,2201200xdxJdxJ重复应用递推式(11)便得.!!12!!21321222122,2!!2!!122212232212122mmmmmmJmmmmmmJmm12令tx2，可得.sin2coscos200220xdxdttxdxnnn因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：.121!!12!!2lim22mmmm13事实上，由,sin2cossin1220021220xdxdttxdxmnn把(12)代人，得到,!!12!!222!!2!!12!!12!!2mmmmmm精品教学网页由此又得.21!!12!!22121!!12!!222mmBmmmmmmA因为,02211221!!12!!22mmmmmmABomm所以.0limmmmAB而,2mmmABA故得2limmmA（即13式）.三泰勒公式的积分型余项若在ba,上xu、xv有1n阶连续导函数，则有xvxuxvxudxxvxunnnba11[dxxvxuxvxunbanbann111]1.,2,1n14这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式14导出泰勒公式的积分型余项.设函数f在点0x的某邻域0xU内有1n阶连续导函数．令x0xU，ntxtu，tftv，xxt,0（或0,,xx）．利用(14)式得tftxntftxdttftxnnnnnnxx111[0dttftfnxxxx0]!00000[!!xxxfxfnxfn]!00nnxxnxfxRnn!，其中xRn即为泰勒公式的n阶余项．由此求得dttxtfnxRnnxxn10!1，15这就是泰勒公式的积分型余项．由于tfn1连续，ntx在00,,xxxx或上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将15式写作精品教学网页dttxfnxRnxxnn01!1101!11nnxxfn，其中10,00xxx．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项．如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得01!1xxxfnxRnnn，10,00xxx.由于0000xxxxxxxxxnn101nnxx因此又可进一步把xRn改写为xRn,1!110001nnnxxxxxfn.10（16）特别当00x时，又有xRn.10,1!111nnnxxfn（17）公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(6)(9)