17.5.1一元二次方程的应用

17.5一元二次方程的应用列方程解应用题的一般步骤：1、审清题意；2、设出未知数；3、列方程；4、解方程；5、检验并答题；与一元二次方程有关的应用题，主要有以下四类：（1）几何问题；（2）变化率问题；(3)数字问题；（4）市场营销问题.一、几何问题:例1（求宽度问题）如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边.地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米.求花边的宽.63解：设花边的宽为χ米，则地毯的长为（2χ+6）米，地毯的宽为（2χ+3）米，根据题意，得（2χ+6）（2χ+3）=40整理，得2χ2+9χ－11=0解得χ1=1，χ2=－11／2（不合题意，舍去）答：花边的宽为1米.63xx例2、如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.分析：设这块铁皮的宽为χ，则长为2χ，无盖长方体容器的长为（2χ－5×2），宽为（χ－5×2）；长方体的容积=长×宽×高.解：设这块铁皮的宽为χ，则长为2χ.根据题意，得整理，得x2-15x=0x1=0,x2=15解得∵x=0不合题意，舍去，∴x=15,则2x=30.答：设这块铁皮的宽为15cm，则长为30cm.2xx(2χ－10）（χ－10）×5=500[例3]学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学楼后墙平行的那条边长为(352x)米，根据题意，得x(352x)150解得当时，352x2018不合题意，舍去；当x10时，352x15.符合题意.答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.1215,10.2xx152xx35-2x二、变化率问题解决这类问题的关键是推导出关系式.第一次增长后的所得量=原来的量×（1+增长率）；第二次增长后的所得量=原来的量×（1+平均增长率）2；第三次增长后的所得量=原来的量×（1+平均增长率）3；……第n次增长后的所得量=原来的量×（1+平均增长率）n；例1.某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长率应为多少？(精确到0.1%)分析：若记今年市财政净收入为a,市财政净收入的平均年增长率为x，则明年（一年后）市财政净收入为aaxa(1x);后年（两年后）市财政净收入为a(1x)a(1x)xa(1x)2.解：设今年某市市财政净收入为a，这两年中市财政净收入的平均年增长率为x，根据题意，得a(1x)22a,符合题意.不合题意，舍去.答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.12x12x1120.41441.4%x2120x例2、利民大药房将原来每盒盈利30%的某种药品先后两次降价，经两次降价后每盒仍能盈利10%.求这两次降价的平均降价率是多少？（精确到1%）解：设某种药品进价是a元/盒，设两次平均降价率为χ，根据题意，得a(1+30%)(1-χ)2=a(1+10%)整理，得(1-χ)2=11/13解这个方程，得χ1≈1.92，χ2≈0.08χ1≈1.92不合题意，所以χ2≈0.08.即这两次降价的平均率约是8%.1、平均增长（降低）率公式:2(1)axb2、注意：（1）1与x的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.练习：解:设这个矩形的长为xcm,则宽为cm,)220(x30)220(xx即x2-10x+30=0这里a=1,b=－10,c=30,0203014)10(422acb∴此方程无解.∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.练习：2.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x米，则570)220)(232(xx化简得，035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1米.练习:3.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程()A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5004.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为.B三、数字问题例1、两个连续的整数的平方和是145，求这两个整数.解:设较小的整数为χ,则较大的整数为χ+1,根据题意,得χ2+(χ+1)2=145整理,得χ２＋χ－７２＝０解得χ１＝８，χ２＝－９当χ＝８时，χ＋１＝９当χ＝－９时，χ＋１＝－８答：这两个整数为８和９或－９和－８.例2一个两位数,十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.解:设原来两位数的十位数字为χ,则个位数字为5－χ，根据题意，得［１０χ＋（５－χ）］［１０（５－χ）＋χ］＝７３６整理，得χ２－５χ＋６＝０解得χ１＝２，χ２＝３当χ＝２时，５－χ＝３，符合题意，原来的两位数是２３；当χ＝３时，５－χ＝２，符合题意，原来的两位数是３２；答：原来的两位数为２３或３２.四、市场营销问题常用到的数量关系:单价X数量=总价.单位盈利X数量=总盈利.例1：兴旺商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个.为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？解：设这种台灯的售价上涨χ元，则每台利润为（40+χ－30）元，销售量为（600－10χ）个，根据题意，得（40+χ－30）（600－10χ）=10000整理，得χ2－50χ+400=0解得χ1=10，χ2=40∴当χ=10时，售价为50元；应进台灯为：600－10×10=500个；当χ=40时，售价为80元，应进台灯为：600－10×40=200个.答：要实现每月10000元的销售利润，售价为50元，进台灯500个；或售价为80元，进台灯200个.例2．山西特产专卖店销售核桃，其进价每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克。若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原价的几折出售？解：(1)设每千克核桃应降价x元,根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．化简，得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．答：每千克核桃应降价4元或6元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），答：该店应按原售价的九折出售．90%100%60542x1、已知两个数的差是8，积是209，求这两个数.解：设较小的数为x，则较大的数为(x+8)，根据题意，得x(x8)209整理，得x28x-2090解得x111,x219当x=11时，x819；当x19时，x811.都符合题意.答：这两个数分别11和19，或19和11.2、三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为(x2)和(x2),根据题意，得(x2)2+(x2)2x2332整理，得x2324解得x18当x18时，x216,x220；当x=18时，x2=20,x216.答：这三个连续偶数分别为16、18和20，或20、18和16.3.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?得根据题意元设每件衬衫应降价解,,:x.1200)1220)(40(xx.020030:2xx整理得得解这个方程,.10,2021xx.20,:元应降价为了尽快减少库存答.40220,60220xx或4.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,若每件商品售价为x元,则每天可卖出(350-10x)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%.商店要想每天赚400元,需要卖出多少年来件商品?每件商品的售价应为多少元?得根据题意元设每件商品的售价应为解,,:x.400)10350)(21(xx.077556:2xx整理得得解这个方程,.31,2521xx.25:元每件商品的售价应为答.,31,2.25%2012131舍去不合题意xx有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析1第一轮传染后1+x第二轮传染后1+x+x(1+x)解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得1+x+x(1+x)=121解方程,得.___________,21xx答:平均一个人传染了________个人.10-12(不合题意,舍去)10探究如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?121+121×10=1331人这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．小结