18.1.2平行四边形的性质定理12的应用

1平行四边形的性质定理1、2的应用A夯实基础练一、选择题1.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，若AE=2，AE：ED=2：1，则▱ABCD的周长是（）A．10B．12C．9D．152.已知如图4-4-1所示，直线m∥n,A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等到的三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3.如图4-4-2所示，AB∥CD,O为∠ACD、∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD间的距离为（）A．2B．2．5C．3D．44.为了增加游人观赏花园风景的路程，将平行四边形花园中形如图4-4-3(1)的恒宽为a米的直路改为形如图4-4-3（2）恒宽为a米的曲路,道路改造前后各余下的面积（即图中阴影部分面积）分别记为1s和2s，则1s2s（填“＞”“=”或“＜”）.9题5.如图4-4-4所示，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是1S、2S、3S、4S，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．1S=4SB．1423SSSSC．1423SSSSD．都不对二、填空题6.用14厘米长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，则短边和长边的长分别为7..已知ABCD的周长为60cm，两邻边之比为1：2，则这个平行四边形的长分别为＿＿＿＿＿。8已知：在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是3；直线b∥c，直线b到直线C的距离为5，则直线a到直线b的距离是.○C9.如图4-4-7所示，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，ABD的面积为16，则ACE的面积为.2三、解答题10.如图4-4-8所示，四边形ABCD是平行四边形，连接AC.（1）请根据以下语句画图，并标上相应的字母（用黑色字迹的钢笔或签字笔画）.①过点A画AE⊥BC于点E；②过点C画CF∥AE，交AD于点F；（2）判断线段AE和CF之间的数量关系，并说明理由.11．如图4-4-9所示，BD是ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：ABE≌CDF12.如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（2）如图①，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与△ABC的面积相等；（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．2．如图4-4-11所示，一条两边平行的纸带的宽度（两平行线间的距离）为8cm，现将纸带折起压平（两条相对的长边应相交），那么重叠部分ABC面积的最小值为（）○C2题图3题图A．16cm2B．32cm2C．64cm2D．无最小值3.如图所示，直线1234llll∥∥∥，相邻两条平行线间的距离都等于h，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A.24hB.25hC.242hD.252h34.如图所示，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）。（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；（2）求这个平行四边形的面积。5.（2012滨州）如图（1）所示，1234llll、、、是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上，过点A作AF⊥3l于点F，交2l于点H，过点C作CE⊥2l于点E，交3l于点G。（1）求证：ADFCBE≌；（2）求正方形ABCD的面积（3）如图（2）如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为123hhh、、，试用123hhh、、表示正方形ABCD的面积S。C拔尖拓展练1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，（1）△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？（2）若S△AOB=21cm2，求S△COD；（3）若S△AOD=10cm2，且BO：OD=2：1，求S△ABD．4第2课时平行线的性质定理及平行线之间的距离。答案：【A】1.A分析：由ABCD，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，又由BE是∠ABC的平分线，可得∠ABE=∠CBE，易得AE=AB（等角对等边），即可求得ABCD的周长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠CBE，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=2，∵AE：ED=2：1，∴ED=1，∴AD=AE+ED=3，∴ABCD的周长是10．故选A．点拨：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．2.C点拨：根据平行线之间的性质可知面积相等垢三角形有△ACD和△BCD，△AOC和BOD，△ABC和△ABD三对。3．D点拨：过点O作AB的垂线．交AB与M，交CD与N．线段MN的长就是AB、CD间的距离。可根据角平分线的性质解答．4．＝5．C点拨：因为Sl与S3等高．所以面积比，就是底边的比．S2与S4也一样，面积比也是那两底边的比．所以Sl：S3＝S2：S4．6.4,37．10cm、20cm82或8点拨：易出现漏解，应针对三条直线的位置关系进行讨论，体现分类讨论的数学思想。98点拨：根据△ABD的面积是16，底BD＝8，可知平行线AE、BD之间的距离等于4.所以△ABD的面积是8.510.解：（1）如答图所示（2）AE＝CF，理由：两平行线间的距离相等。11.证明（一）：∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，又∵∠ABC＝∠CDA∴DF∥BE，∴BE＝DF，DE＝BF∴AE＝CF，又∵∠A＝∠C∴CDF△ABE≌△点拨：证明本题的关键是利用平行线问的平行线段相等，找到证明三角形全等的条件。培养学生对知识的综合运用能力．12.分析：（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．解：（1）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；（2）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离是相等的，∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线点拨：本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键．【B】1.BE＝DF或BF∥DE或AF＝CE2.B点拨：解答本题时不能从图中找到条件易出错。由于两直线平行，且平行线间的距离为8cm，故△ABC的高不变，当三角形的底边AC最短时，三角形的面积最小。63.B点拨：运用方程思想，根据平行线的性质可设AEx，则2ADx，由勾股定理得出5DEx，再根据三角形的面积公式112522xxxh求得52hx，所以正方形ABCD的面积等于22(5)5hh。4.解（1）BC为对角线时，第四个坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）。（2）图中133(131322)42ABC△面积，所以平行四边形面积＝2×△ABC面积＝8.点拨：运用转化思想，问题(1)木题应从BC为对角线、AB为对角线三种情况入手讨论，即可得出第四个点的坐标．问题(2)解本题时应将三角形进行分化，化为几个直角三角形的和，解出面积和，乘以2即为平行四边形的面积．5.证明：（1）在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD＝BC，AF＝CE，∴RtAFDCEB△≌Rt△；（2）∵90ABHCBE，90ABHBAH，∴∠CBE＝∠BAH，又∵AB＝BC，∠AHB＝∠CEB＝90∴ABHBCE△≌△，同理可得，ABHBCECDGDAF△≌△≌△≌△，∴144211152SABHABCDHEGFSS△正方形正方形＝＝＝；（3）由（1）知，AFDCEB△≌△，故13hh，由（2）知，ABHBCECDGDAF△≌△≌△≌△，∴22212121122144222ABHABCDHEGFSSShhhhh△正方形正方形＝＝（h+h）h。点拨：本题涉及到三角形全等的判定、平行线的性质等知识．解答本题的关键是根据平行间的距离找三角形全等的条件，培养学生的分析判断能力和l综合运用能力．【C】1.分析：（1）根据已知得出∴△ABC的边BC上的高和△DBC边BC上的高相等，设此高为h，根据三角形的面积公式求出即可；（2）根据△ABC的面积和△DBC的面积相等，都减去△OBC的面积，即可得出△AOB的面积和△DOC的面积相等；（3）求出BD=3OD，根据面积公式代入求出即可．解：（1））△ABC与△DBC的面积相等，理由是：∵AD∥BC，∴△ABC的边BC上的高和△DBC边BC上的高相等，设此高为h，∴△ABC的面积是12BCh，△DBC的面积是12BCh∵BC=BC，∴△ABC与△DBC的面积相等（2）∵S△ABC=S△DBC，∴S△ABC-S△OBC=S△DBC-S△OBC，7∴S△AOB=S△DOC=21cm2，即S△COD=21cm2（3）∵BO：OD=2：1，∴BD=3OD，∵△AOD的边OD上的高和△ABD的边BD上的高相等，设此高为a21102AODSODacm△∵∴2211303103022ABDSBDaDacmcm△点拨：本题考查了平行线间的距离和三角形的面积，注意：等高的三角形的面积之比等于对应的边之比．地脚：方法技巧：1．方程思想(B3)2．转化思想(B4)3．分类讨论(A8)易错点：l．不能从图中找到条件易出错(B2)2.判断两平行线间的距离考虑不周出错(A8)