18.第十八讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划

1第十八讲二元一次不等式（组）与简单的线性规划一、引言：本讲主要学习掌握二元一次不等式（组）表示平面区域的方法：直线定界，代点定域；了解线性规划问题的图解法及其应用；领悟观察、画图及探索问题的能力，渗透数形结合思想．本讲重点是：图解法求解线性规划问题的步骤；本讲难点是：准确求得线性规划问题的最优解．本讲考纲要求为：会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．本讲命题方向为：本讲主要考查二元一次不等式表示平面区域，线性规划的意义及简单的应用，考查数形结合的数学思想．从题型上来看以选择、填空居多．除考查图解法求解线性规划问题的方法外，线性规划的应用题也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现．二、考点梳理1．二元一次不等式表示平面区域．（1）一般地，二元一次不等式0CByAx在平面直角坐标系中表示直线0AxByC某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式所表示的平面区域（半平面）包括边界线．（2）判定不等式0CByAx（或0CByAx）所表示的平面区域时，只要在直线0CByAx的一侧任意取一点),(00yx，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．（3）由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划问题的图解法：（1）基本概念名称意义线性约束条件由,xy的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x,y的约束条件目标函数关于,xy的解析式线性目标函数关于,xy的一次解析式可行解满足线性约束条件的解,xy叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题（2）用图解法解决线性规划问题的一般步骤①根据题意，设出变量x、y；②找出线性约束条件；③确定线性目标函数(,)zfxy；④画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；⑤利用线性目标函数作平行直线系(,)fxyt（t为参数）；⑥观察图形，找到直线(,)fxyt在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案．2三、典型例题选讲题型1：二元一次不等式组表示的平面区域例1画出下列不等式（或不等式组）表示的平面区域．（1）260xy；（2）3005xyxyx；(3)0)1)((yxyx；(4)xyx2．解：(1)先画出直线260xy（画线虚线），代入原点坐标（0，0）得20060，∴原点在不等式260xy表示的平面区域内，不等式260xy表示的平面区域如图中阴影部分．(2)不等式50xy表示直线50xy上及右下方的平面区域，0xy表示直线0xy上及右上方的平面区域，3x表示直线3x上及左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．(3)不等式0)1)((yxyx等价于不等式组10010yxyxyx或010xyxy矛盾，故点),(yx在一带形区域内（含边界）．所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．(4)由xx2，得0x；当0y时，有020yxyx，点),(yx在一条形区域内(边3界)；当0y，由对称性得出原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．归纳小结：第(2)题中不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．第(3)题中转化为等价的不等式组，把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解；第(4)题中注意到不等式的传递性，由xx2，得0x，又用y代y，不等式仍成立，区域关于x轴对称．例2（2008湖北文）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1xyx的点(,)xy的集合用阴影部分表示为下列图中的（）解：在坐标系里画出图象，C为正确答案．也可取点坐标检验判断．归纳小结：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界．题型2：线性规划问题例3设2zxy，式中变量x、y满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值．解：由题意，变量,xy所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0xy时，20zxy，即点(0,0)在直线0l：20xy上，作一组平行于0l的直线l：2xyt，tR，可知：当l在0l的右上方时，直线l上的点(,)xy满足20xy，即0t，而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图可知，当直线l经过点(5,2)A时，对应的t最大，当直线l经过点(1,1)B时，对应的t最小，所以，max25212z，min2113z．4归纳小结：图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步．一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域．第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确．通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值．它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标．例4求不等式组015530632032yxyxyx的整数解．解：设032:1yxl，0632:2yxl，01553:3yxl，12llA，13llB，23llC，则)43,815(A，)3,0(B，)1912,1975(C．于是看出区域内点的横坐标在)1975,0(内，取x＝1，2，3，当x＝1时，代入原不等式组有512341yyy⇒1512y，得y＝－2，∴区域内有整点(1,-2)．同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)．归纳小结：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫．常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有整数值，即先固定x，再用x制约y．例5（1）（2007安徽）如果点P在平面区域22021020xyxyxy≥≤上，点Q在曲线22(2)1xy上，那么PQ的最小值为（）Ａ．51Ｂ．415Ｃ．221Ｄ．21解：依题意作图，则minPQ为圆到直线210xy的距离减去半径的长，计算得51515，故选A．5（2）（2008安徽理）若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为()A．34B．1C．74D．5解：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．（阴影部分面积比1大，比12222OABS小,故选C,不需要算出来）（3）（2007北京理）若不等式组220xyxyyxya≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）Ａ．43a≥Ｂ．01a≤Ｃ．413a≤≤Ｄ．01a≤或43a≥解：约束条件的可行域是如图所示的阴影区域，观察得01a或43a．故选D．6（4）(2009山东理)设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx，若目标函数zaxby（a0，b0）的值是最大值为12，则23ab的最小值为()．A．625B．38C．311D．4解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线zaxby（a0，b0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,23ab=2323131325()()26666abbaabab,故选A．归纳小结：线性规划的应用也是高考的热点，诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现．在解题时要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,要注意基本不等式的综合使用．题型3：线性规划应用问题例6(2009山东文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元．．解:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,该公司所需租赁费为z元,则200300zxy，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:产品A类产品B类产品租赁费7设备(件)(≥50)(件)(≥140)(元)甲设备510200乙设备620300则满足的关系为5650102014000xyxyxy即61052140,0xyxyxy．作出不等式表示的平面区域,当200300zxy对应的直线过两直线6105214xyxy的交点(4,5)时，目标函数200300zxy取得最低为2300元．．归纳小结：本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题．例7某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（4≤v≤20）从A港出发到距50km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市．．设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是xh、yh新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；（2）如果已知所需的经费1003(5)2(8)pxy（元），那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元?分析：由1003(5)2(8)pxy可知影响花费的是32xy的取值范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（1）依题意得v=y50，w=x300，4≤v≤20，30≤w≤100新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴3≤x≤10，25≤y≤225①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和xy应在9至14个小时之间，即9≤xy≤14．．②因此，满足①②的点(,)xy的存在范围是图中阴影部分（包括边界）．（2）∵1003(5)2(8)pxy，∴32xy=131p．设131pk，那么当k最大时，p最小．在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线32xyk中，使k值最大的直线必通过点（10，4），即当10x，4y时，p最小．此时，v12.5，w=30，p的最小值为93元．归纳小结：线性规划问题首先