1977年江苏省高考数学试卷

1977年江苏省高考数学试卷一、解答题（共15小题，满分100分）1．（6分）（1977•江苏）计算：．2．（6分）（1977•江苏）求函数的定义域．3．（8分）（1977•江苏）解方程：4．（8分）（1977•江苏）计算：．5．（8分）（1977•江苏）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．6．（8分）（1977•江苏）计算7．（8分）（1977•江苏）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．8．（8分）（1977•江苏）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．9．（8分）（1977•江苏）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．10．（8分）（1977•江苏）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．11．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60°．12．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60°．13．（8分）（1977•江苏）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？14．（1977•江苏）求极限15．（1977•江苏）求不定积分．1977年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分100分）1．（6分）（1977•江苏）计算：．考点：有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：按照指数幂的简单化简方法，依次化简指数幂，进而可得答案．解答：解：原式==+100﹣1+=99．故答案为：99点评：本题考查指数幂的简单化简，难度不大，学生只要掌握运算公式，做题细心一点就行了2．（6分）（1977•江苏）求函数的定义域．考点：函数的定义域及其求法．分析：根据题意，写出三个部分的定义域，再求交集可得答案．解答：解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．点评：本题考查函数定义域的求法，是基本的题目，要牢记各种函数的定义域．3．（8分）（1977•江苏）解方程：考点：有理数指数幂的运算性质．分析：根据125=53=，令指数相等即可．解答：解：原方程即，∴x2+2x=3∴x=﹣3或x=1．故原方程的解为：x=﹣3或x=1．点评：本题主要考查解指数函数型方程的问题．4．（8分）（1977•江苏）计算：．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用根式分数指数幂化简，然后利用对数性质求解即可．解答：解：=．点评：本题考查根式分数指数幂的化简，对数的运算性质，是基础题．5．（8分）（1977•江苏）把直角坐标方程（x﹣3）2+y2=9化为极坐标方程．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．解答：解：原方程可展开为x2﹣6x+9+y2=9，x2﹣6x+y2=0→ρ2﹣6•ρcosθ=0∴ρ=0或ρ=6cosθ即ρ=6cosθ．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．6．（8分）（1977•江苏）计算考点：极限及其运算；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：数列1，2，3，…，n为首项为1，公差为1的等差数列，则前n项的和为，代入极限求出即可．解答：解：原式=点评：考查学生掌握极限及其运算的能力，以及求等差数列前n项和的能力．7．（8分）（1977•江苏）分解因式x4﹣2x2y﹣3y2+8y﹣4．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：将﹣3y2变为y2+（﹣4y2），则原式变为6项，前三项结合，后三项结合分别利用完全平方公式的逆运算分解因式，然后再利用平方差公式分别因式即可．解答：解：原式=（x4﹣2x2y+y2）﹣（4y2﹣8y+4）=（x2﹣y）2﹣（2y﹣2）2=（x2﹣y+2y﹣2）（x2﹣y﹣2y+2）=（x2+y﹣2）（x2﹣3y+2）．点评：此题的突破点是利用拆项法将﹣3y2进行变形，考查学生灵活运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．分解因式时，学生应注意将因式分解到底．8．（8分）（1977•江苏）过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为的直线，它与抛物线相交于A、B两点．求A、B两点间的距离．考点：抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据倾斜角确定直线AB的方程，再与抛物线方程联立利用韦达定理确定A，B两点横坐标之和与横坐标之积，即纵坐标之和与纵坐标之积．最后根据两点间距离公式求得A、B两点间的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）所作直线方程为，它与抛物线之二交点坐标由下面方程组确定，解得（1﹣x）2=4x，x2﹣6x+1=0由根与系数关系，得x1+x2=6，x1x2=1．又解得y2=4（1﹣y），y2+4y﹣4=0，y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4．由两点间距离公式但（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=36﹣4=32，（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=16+16=32∴故AB两点间距离为8．点评：本题主要考查了抛物线与直线的关系问题．一般是把直线方程和抛物线方程联立，获得一元二次方程，再利用韦达定理来找到解决问题的突破口．9．（8分）（1977•江苏）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．考点：相似三角形的性质．专题：证明题．分析：欲求证CD=DE，在直角三角形CDE中，只须证明其中一个锐角为45度即可，利用CD、CE分别为斜边AB上的高和中线可得：“∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB”，再利用∠BCD与∠ACD之比为3：1即可求得∠ECD的大小，从而解决问题．解答：证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD，∠ECD=2∠ACD=∠ACB=×90°=45°，△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE．点评：本小题主要考查直角三角形中边角关系、三角形高和中线等基础知识，考查运算求解能力、转化思想．属于基础题．10．（8分）（1977•江苏）在周长为300cm的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点．相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知AmC=40厘米，BnD=20厘米，求ACB的长度．考点：函数模型的选择与应用；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：本题考查的知识点是方程的构造与应用，要求ACB的长度，由AmC=40厘米，我们只要求出BC长即可，我们不妨设BC=x厘米，甲球速度为v甲，乙球速度为v乙．然后根据相遇问题中时间相等，构造两次相遇时的方程，解方程组即可求出答案．解答：解：如图设BC=x厘米．甲球速度为v甲，乙球速度为v乙．根据二次从出发到相遇二球运动的时间都相同，可得第一次等候时方程第二次等候时方程．由此可得，（x﹣40）（x﹣80）=0．由于已知条件v甲≠v乙，∴x≠40，x=80（厘米）ACB=40+80=120（厘米）．点评：方程与函数思想是中学阶段的四大数学思想之一，在利用方程思想解决问题时，我们要解决两个问题：一是谁是未知数，一般由“求谁设谁”的原则来决定；二是找等量关系，如本题中相遇问题的时间相等．并由些构造方程，进行求解．11．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，求证必有一内角为60°．考点：等差数列的性质．专题：证明题．分析：设三角形三内角分别为α﹣d，α，α+d，则有（α﹣d）+α+（α+d）=180°，从而导出三角形中必有一内角为60°．解答：证明：设三角形三内角分别为α﹣d，α，α+d，则有（α﹣d）+α+（α+d）=180°，3α=180°∴α=60°．点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．（8分）（1977•江苏）若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60°．考点：数列的应用；余弦定理的应用．专题：证明题．分析：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60°，今设其对边为a，则三角形的三边分别为（此处q为公比，且q＞0）再由余弦定理可得此三角形为等边三角形，三个内角均为60°．解答：证明：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60°，今设其对边为a，则三角形的三边分别为（此处q为公比，且q＞0）由余弦定理可得，，∴q2=1q=1，q=﹣1（不合题意，舍去）由q=1可知，此三角形为等边三角形，三个内角均为60°．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．13．（8分）（1977•江苏）在两条平行的直线AB和CD上分别取定一点M和N，在直线AB上取一定线段ME=a；在线段MN上取一点K，连接EK并延长交CD于F．试问K取在哪里△EMK与△FNK的面积之和最小？最小值是多少？考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：先作两条平行直线的公垂线PQ，设出PQ、MN，然后令PK=x，则可表示出KQ，再根据△EMK∽△FNK，△MKP∽△NKQ，判断出，进而可求得NF，再表示出△EMK与△FNK的面积之和，根据均值不等式，求得面积之和最小时x的值，并求得面积的最小值．解答：解：过点K作两条平行直线的公垂线PQ，设PQ=l，MN=m，令PK=x，则KQ=l﹣x∴△EMK∽△FNK，∴又∵△MKP∽△NKQ，∴于是得到，从而△EMK与△FNK的面积之和为====∴，A有最小值点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．14．（1977•江苏）求极限考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：把转化为，由此能够求出解答：解：原式==点评：本题考查极限的求法和应用，解题时要认真审题，仔细思考，注意培养计算能力．15．（1977•江苏）求不定积分．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：在较复杂函数的不定积分的求解中，可以采用换元的方法．设x=γ（t）是单调可导函数，γ（t）′≠0，又设f[γ（t）]γ（t）′有原函数，则有换元公式∫f（x）dx=∫f[γ（t）]γ（t）′dt．利用从公式既可求解．解答：解：令1+ex=t，则dt=exdx=（t﹣1）dx，∴=====．点评：此题主要考查求不定积分的方法之一换元法的应用，题目难度适中，要求与一定的计算量，以及一些固定函数不定积分的记忆．