1979年全国统一高考数学试卷(理科)

1979年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．2．（6分）（1979•北京）化简．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？4．（6分）叙述并证明勾股定理．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．1979年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．考点：等差关系的确定．专题：证明题．分析：根据所给的等式进行整理，分解整理成符合完全平方形式，得到一个式子的完全平方等于0，则这个式子等于0，三个变量符合等差数列．解答：证明：∵（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=（x+z）2﹣2•2y（z+x）+4y2=（z+x﹣2y）2=0∴2y=x+z，∴x，y，z成等差数列．点评：本题考查等差数列和整式的整理，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．2．（6分）（1979•北京）化简．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由下向上依次运算，1﹣csc2x=﹣cot2x，1﹣=1+tan2x，1﹣=1﹣cos2x．解答：解：原式=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，繁分式的化简采用从下向上依次运算的顺序进行．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：溶质=溶液×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．解答：解：甲中含纯酒精（公斤），含水（公斤）乙中含纯酒精（公斤），含水（公斤）甲乙共含纯酒精=公斤甲乙共含水=公斤混合后，纯酒精与水比为：[m1v1（m2+n2）+m2v2（m1+n1）]：[n1v1（m2+n2）+n2v2（m1+n1）]．点评：考查函数模型的选择与应用，考查列代数式；得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键．4．（6分）叙述并证明勾股定理．考点：分析法和综合法．专题：证明题．分析：勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．解答：证明：如图左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式，化简得a2+b2=c2．下面是一个错误证法：解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．再做一个边长为c的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．过点Q作QP∥BC，交AC于点P．过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a2+b2=c2点评：勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC可分别表示出AC，BC，进而代入S=AC+BC中，根据d的范围确定cotα+cotβ的范围．解答：解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d•cotα在直角三角形PC中，BC=d•cotβ∴S=AC+BC=d（cotα+cotβ）当d≤D，即cotα+cotβ≥时，应向外国船发出警告．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．考点：棱锥的结构特征；余弦定理的应用；三垂线定理．专题：计算题；证明题．分析：证一求出△ABC的三边，利用余弦定理验证即可．证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．解答：解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．由余弦定理：∴∠CAB为锐角．同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：根据题设条件，年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．然后取自然对数求出年增长率x．解答：解：年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．取自然对数有40ln（1+x）=ln5．又lg5=1﹣0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln（1+x）≈x，则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四．点评：注意挖掘题设中的隐含条件，寻找数量间的等量关系，能够准确求解．8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：做出辅助线，根据一个圆周角是直角，得到圆周角所对的弦是直径，根据连接圆心与切点的直线垂直，得到直角，在直角三角形中应用射影定理，得到线段成比例，通过变形得到要征得结论．解答：解：证连接CD，∵∠CFD=90°，∴CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB，又在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA∴又因BD2=BC•BF，AD2=AC•AE∴由（1）与（2）得点评：本题是一个与圆有关的比例线段问题，这是一个平面几何问题，在解题时所应用的方法在立体几何中也会用到，是一个综合题．9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）考点：数列的求和；对数的运算性质．分析：根据题意得该数列的第k项的通项ak，得到这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数，得到ak≥0且ak+1＜0，解得k的取值范围，求出正整数解得到k的值，然后利用等差数列的前k项和的公式得到和的最大值即可．解答：解：该数列的第k项为：所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应适合下列条件：解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2又k∈N，∴k=14取k=14，前14项的和点评：此题考查学生会进行对数的运算，会根据要使数列前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数列出不等式求出数列和的最大值．10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），由题意知|OP|=，|PD|=xsinθ﹣ycosθ，|PF|=xsinθ+ycosθ，由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0，由此可知，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．（2）由题意知x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，所以5y3cos2θ=x2sin2θ，y=，由此入手可以推出所求点P的坐标．解答：解：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），则|OP|=|PD|=|OP|sin（θ﹣α）=|OP|（sinθcosα﹣cosθsinα）=xsinθ﹣ycosθ|PF|=|OP|sin（θ+α）=|OP|（sinθcosα+cosθsinα）=xsinθ+ycosθ由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2sin2θ﹣y2cos2θ=（h﹣x）2（1）即x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0除以cos2θ≠0得即这是以为中心，以为半径的圆，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分，注意：在A作直线AE′⊥OA，则OE′=，E′是圆的中心AE′=是圆的半径，A是圆上一点，而且圆在A的切线是OA．（2）由条件|PD|+|PE|=|PF|得xsinθ﹣ycosθ