1980年全国统一高考数学试卷(理科)

1980年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．4．（10分）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．5．（10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．7．（14分）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．9．（18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．1980年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分0分）1．（6分）将多项式x5y﹣9xy5分别在下列范围内分解因式：（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．考点：虚数单位i及其性质．专题：计算题．分析：直接根据（1）有理数范围；（2）实数范围；（3）复数范围．的要求，分解因式即可．解答：解：（1）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x2﹣3y2）．（2）x5y﹣9xy5=xy（x2+3y2）（x+y）（x﹣y）．（3）x5y﹣9xy5=xy（x+yi）（x﹣yi）（x+y）（x﹣y）．点评：本题考查实数系与数系的扩充，考查学生的基础知识，是基础题．2．（6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：证明题．分析：根据两圆外切时两圆心之间的距离等于两半径之和，由三个圆的半径分别求出三角形的三边，求出最长一边的平方且求出其余两边的平方和，发现其相等，利用勾股定理的逆定理即可得证．解答：证明：设⊙O1、⊙O2、⊙O3的半径分别为1、2、3．因这三个圆两两外切，故有O1O2=1+2=3，O2O3=2+3=5，O1O3=1+3=4，则有O1O22+O1O32=32+42=52=O2O32根据勾股定理的逆定理，得到△O1O2O3为直角三角形．点评：此题考查学生掌握两圆外切时圆心距与两半径之间的关系，是一道基础题．通过此题，学生要明白判断一个三角形是直角三角形的方法不仅可以根据一个角是直角得到三角形为直角三角形，还可以利用勾股定理的逆定理来判断一个三角形为直角三角形．3．（10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．考点：两条直线的交点坐标；直线的一般式方程．专题：证明题；数形结合．分析：建立直角坐标系，写出各点的坐标，利用两点的连线的斜率公式求出AB的斜率，利用两直线垂直斜率互为倒数得到AB边上的高的斜率，利用点斜式求出AB边的高的方程，同理求出AC边上的高，两高线的方程联立得到高线的交点．解答：证明：取△ABC最长一边BC所在的直线为X轴，经过A的高线为Y轴，设A、B、C的坐标分别为A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），根据所选坐标系，如图，有a＞0，b＜0，c＞0，AB的方程为，其斜率为，AC的方程为，其斜率为，高线CE的方程为高线BD的方程为．解（1）、（2），得：（b﹣c）x=0∵b﹣c≠0∴x=0即高线CE、BD的交点的横坐标为0，也即交点在高线AO上．因此，三条高线交于一点．点评：本题考查通过建立直角坐标系将问题转化为代数问题、考查两点连线的斜率公式、考查两直线垂直斜率乘积为﹣1、考查两直线的交点坐标的求法．4．（10分）证明对数换底公式：（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．考点：换底公式的应用．专题：证明题．分析：利用指数式与对数式的互化，logbN=x等价于bx=N，两边同取对数后解除x的解析式．解答：证明：令logbN=x，则bx=N，两边同取以a为底的对数得：=logaN，∴x•logab=logaN，∴x=，∴logbN=成立．点评：本题考查对数的定义，体现解方程的思想．5．（10分）直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）．直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）．证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB．考点：平面与平面之间的位置关系；反证法．专题：证明题．分析：用反证法先证平面N与平面M相交，假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，从而平面N与平面M相交，设平面N与平面M的交线为L，然后证L⊥平面PAB，从而得到L垂直于AB．解答：证明：假如平面N与平面M平行，则PA也垂直于N，因此PA与PB重合，B点与A点重合，但这与题设“不同于A”矛盾，所以平面N与平面M相交．设平面N与平面M的交线为L，∵PA⊥平面M，∴PA⊥L，又∵PB⊥平面N，∴PB⊥L，∴L⊥平面PAB，∴L⊥AB．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及反证法的应用，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．（12分）设三角函数，其中k≠0．（1）写出f（x）极大值M、极小值m与最小正周期；（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：综合题．分析：（1）根据正弦函数的性质可知函数最大值为1，最小值为﹣1，ω=进而根据T=可得函数的周期．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，进而可知，可得k的范围．解答：解：（1）M=1，m=﹣1，．（2）f（x）在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m．而任意两个整数间的距离都≥1，因此要使任意两个整数间函数f（x）至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使f（x）的周期≤1，即：．可见，k=32就是这样的最小正整数．点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象的性质．属基础题．7．（14分）CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△CBD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）．考点：直角三角形的射影定理．专题：计算题．分析：要用反三角函数表示∠B，关键是要解三角形，求出含B的三角形中对应的边长，再利用三角函数的定义求出∠B的一个三角函数值，再用反三角函数表示∠B．解答：解：设CD=h，AB=c，BD=x，则AD=c﹣x因此，△ACD的面积为，△CBD的面积为，△ABC的面积为，依题意，，即x2=c（c﹣x），即x2+cx﹣c2=0，．∵取负号不合题意，∴取正号，得．又依直角三角形的性质，有AC2=AD•AB=c（c﹣x）．但x2=c（c﹣x），∴AC2=x2，∴AC=x=DB=．在直角三角形ABC中，．故．点评：在双垂直问题（即过直角三角形的直角顶点做斜边上的高）中，要善于利用勾股定理、射影定理去寻求边与边之间的关系．8．（14分）已知0＜α＜π，证明：；并讨论α为何值时等号成立．考点：弦切互化；不等式的证明．分析：根据倍角公式，把证明转变为证明，两端乘以sinα，进而转换为证明（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0，再利用倍角公式可证．解答：解：即证：．两端乘以sinα，问题化为证明2sinαsin2α≤1+cosα．而2sinαsin2α=4sin2αcosα=4（1﹣cos2α）cosα=4（1﹣cosα）（1+cosα）cosα所以问题又化为证明不等式（1+cosα）[4（1﹣cosα）cosα﹣1]≤0（1+cosα）≤0∴不等式得证，∵0＜α＜π，∴等号成立当且仅当cosα﹣=0即α=60°点评：本题主要考查利用三角函数中的常用公式，完成弦切之间的转换．属基础题．9．（18分）抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直？（注：设P（x0，y0）是抛物线y2=2px上一点，则抛物线在P点处的切线斜率是）．考点：圆锥曲线的共同特征；圆方程的综合应用；抛物线的应用．专题：计算题．分析：设出圆的方程，再设圆与抛物线的一个交点为P进而可求得在P点圆半径的斜率和在P点抛物线的切线斜率的表达式，根据在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切进而建立等式，把P点代入抛物线方程和椭圆方程，联立方程组可求得k，则圆的方程可得．解答：解：设圆的方程为（x﹣k）2+y2=1再设圆与抛物线的一个交点为P（x0，y0）在P点圆半径的斜率=．在P点抛物线的切线斜率=在P点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切，∴．（1）因P（x0，y0）是圆与抛物线的交点，∴y02=2x0．（2）（x0﹣k）2+y02=1．（3）由（1）、（2）式消去y0，得x0=﹣k，将（2）代入（3），得（x0﹣k）2+2x0﹣1=0，将x0=﹣k代入，得4k2﹣2k﹣1=0，∴．由于抛物线在y轴的右方，所以k=﹣x0≤0故根号前应取负号，即．故所求圆的方程为．故圆心是（，0）时圆与抛物线在交点处的切线互相垂直点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解此类题应充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用．灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题．10．设直线（L）的参数方程是（t是参数）椭圆（E）的参数方程是（θ是参数）问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线（L）与椭圆（E）总有公共点．考点：直线的参数方程；直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的参数方程．专题：计算题；选作题；判别式法．分析：首先题中的直线方程及椭圆方程都是参数方程的形式，需要消去参数化简为一般方程，然后求公共点问题，考虑到联立方程式由求判别式的方法求取值范围即可得到答案．解答：解：对于直线（L）消去参数，得一般方程y=mx+b；对于椭圆（E）消去参数，得一般方程．：消去y，整理得（1+a2m2）x2+2（a2mb﹣1）x+a2b2﹣a2+1=0．（L）、（E）有交点的条件是上式的判别式≥0，即（a2mb﹣1）2﹣（1+a2m2）（a2b2﹣a2+1）≥0．化简并约去a2得（a2﹣1）m2﹣2bm+（1﹣b2）≥0．对任意m的值，要使这个式子永远成立，条件是或（1）、（2）合写成：即所求的条件．故答案为．点评：此题主要考查直线及椭圆参数方程化简一般方程的问题，其中对于求公共点的问题可以把方程联立，然后根据判别式法求得取值范围，属于综合性试题，有一定的计算量．