您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 1982年高考理科数学试题及答案
高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞1982年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)一.(本题满分6分)填表:函数使函数有意义的x的实数范围12xy{0}22)(xyR3)arcsin(sinxyR4)sin(arcsinxy[-1,1]5xylg10(0,+∞)6xy10lgR解:见上表奎屯王新敞新疆二.(本题满分9分)1.求(-1+i)20展开式中第15项的数值;2.求3cos2xy的导数奎屯王新敞新疆解:1.第15项T15=.38760)()1(6201461420CiC2..32sin31)3(3sin3cos2)3)(cos3(cos2xxxxxxy三.(本题满分9分)高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞在平面直角坐标系内,下列方程表示什么曲线?画出它们的图形奎屯王新敞新疆1.;0436323112yx2..sin2,cos1yx解:1.得2x-3y-6=0图形是直线奎屯王新敞新疆2.化为,14)1(22yx图形是椭圆奎屯王新敞新疆四.(本题满分12分)已知圆锥体的底面半径为R,高为H奎屯王新敞新疆求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图)奎屯王新敞新疆解:设圆柱体半径为r高为h奎屯王新敞新疆由△ACD∽△AOB得.RrHhH由此得),(hHHRr圆柱体体积.)()(2222hhHHRhrhV由题意,H>h>0,利用均值不等式,有.)(,3,,2.274274224232222最大时因此当时上式取等号当原式hVHhhhHHRHHRhhHhHHRY1XOY1OXADcHhBEO2R高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞(注:原“解一”对h求导由驻点解得奎屯王新敞新疆)五.(本题满分15分)的大小与比较设|)1(log||)1(log|,1,0,10xxaaxaa(要写出比较过程)奎屯王新敞新疆解一:当a1时,.|)1(log||)1(log|,1,0,10.|)1(log||)1(log|,0)1(log,110,10).1(log|)1(log||)1(log|),1(log|)1(log|),1(log|)1(log|,10.|)1(log||)1(log|,0)1(log,110,1).1(log)]1(log)1([log|)1(log||)1(log|),1(log|)1(log|),1(log|)1(log|222222xxaaxxxxxaxxxxxxxaxxxxaxxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa总有时因此当时当解二:|)1(log|)1(log)1(log|)1(log||)1(log|1xxxxxxaaaa,110,11xx|)1(log||)1(log|,1|)1(log||)1(log|,10)1(log,110,11)1(log111log11log)1(log212212111xxxxxxxxxxxxaaaaxxxxx即原式原式六.(本题满分16分)高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞如图:已知锐角∠AOB=2α内有动点P,PM⊥OA,PN⊥OB,且四边形PMON的面积等于常数c2奎屯王新敞新疆今以O为极点,∠AOB的角平分线OX为极轴,求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线奎屯王新敞新疆解:设P的极点坐标为(ρ,θ)∴∠POM=α-θ,∠NOM=α+θ,OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四边形PMON的面积.2sin2.2sin2)sin(cossin,cos.2sin22cos2cos2sin2)](2sin)(2[sin4)]sin()cos()sin()[cos(2:,)]sin()cos()sin()[cos(221212222222222222222cyxcyxccccPPNONPMOMS即为化为直角坐标方程上式用即用和差化积公式化简得用倍角公式化简得的轨迹的极坐标方程是动点依题意这个方程表示双曲线奎屯王新敞新疆由题意,动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分奎屯王新敞新疆七.(本题满分16分)AMP(ρ,θ)XONB高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞已知空间四边形ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图)求证MNPQ是一个矩形奎屯王新敞新疆证:连结AC,在△ABC中,∵AM=MB,CN=NB,∴MN∥AC奎屯王新敞新疆在△ADC中,∵AQ=QD,CP=PD,∴QP∥AC奎屯王新敞新疆∴MN∥QP奎屯王新敞新疆同理,连结BD可证MQ∥NP奎屯王新敞新疆∴MNPQ是平行四边形奎屯王新敞新疆取AC的中点K,连BK,DK奎屯王新敞新疆∵AB=BC,∴BK⊥AC,∵AD=DC,∴DK⊥AC奎屯王新敞新疆因此平面BKD与AC垂直奎屯王新敞新疆∵BD在平面BKD内,∴BD⊥AC奎屯王新敞新疆∵MQ∥BD,QP∥AC,∴MQ⊥QP,即∠MQP为直角奎屯王新敞新疆故MNPQ是矩形奎屯王新敞新疆八.(本题满分18分)抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切,证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切奎屯王新敞新疆解:不失一般性,设p0,q0.又设y2=2px的内接三角形顶点为A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)因此y12=2px1,y22=2px2,y32=2px3奎屯王新敞新疆BMRANQDKSPCYx2=2qyy2=2pxA1OA2A3X高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1.依题意,设A1A2,A2A3与抛物线x2=2qy相切,要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切奎屯王新敞新疆因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴,所以原点O不能是所设内接三角形的顶点奎屯王新敞新疆即(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),都不能是(0,0);又因A1A2与x2=2qy相切,所以A1A2不能与Y轴平行,即x1≠x2,y1≠-y2,直线A1A2的方程是),(112121xxxxyyyy).(2))((1212122122xxpyyyyyy(1)0)(2.0)2(4)4(,2,0242.2212122121221221212121222121212121yyyyqpyyyqyyypqqyxAAyyyqyxyypqxqyxAAyyyyxyypyAA化简得上面二次方程的判别式相切与抛物线由于交点的横坐标满足与抛物线方程是同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切,A2A3也不能与Y轴平行,即x2≠x3,y2≠-y3,同样得到(2)0)(2p32322yyyyq由(1)(2)两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1,也就是A3A1也不能与Y轴平行奎屯王新敞新疆今将y2=-y1-y3代入(1)式得:(3)0)(2p13132yyyyq高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞(3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合,即A3A1与抛物线x2=2qy相切奎屯王新敞新疆所以只要A1A2,A2A3与抛物线x2=2qy相切,则A3A1也与抛物线x2=2qy相切奎屯王新敞新疆九.(附加题,本题满分20分,计入总分)已知数列,21,,naaa和数列,,,,21nbbb其中111,,nnpaaqbpa).0,0,,,(),2(11rpqrqpnrbqabnnn且是已知常数1.用p,q,r,n表示bn,并用数学归纳法加以证明;2.求.lim22nnnnbab解:1.∵a1=p,an=pan-1,∴an=pn.又b1=q,b2=qa1+rb1=q(p+r),b3=qa2+rb2=q(p2+pq+r2),…设想.)()(121rprpqrrppqbnnnnnn用数学归纳法证明:当n=2时,,)()(222rprpqrpqb等式成立;设当n=k时,等式成立,即,)(rprpqbkkk则bk+1=qak+rbk=,)()(11rprpqrprprqqpkkkkk即n=k+1时等式也成立奎屯王新敞新疆所以对于一切自然数n≥2,rprpqbnnn)(都成立奎屯王新敞新疆高考试卷新疆奎屯市第一高级中学王新敞.)(lim,0)(,,10,])(1[)(])(1[lim,,)()()(lim,0,)()()(limlim.222222222222222222qrpqbabprnprprqrpprqprpqrpprpqrprprpqprprpqbabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn时故当原式分子分母同除以原式
本文标题:1982年高考理科数学试题及答案
链接地址:https://www.777doc.com/doc-3100812 .html