1987年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品】

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网1987年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.(A)X(B)T(C)φ(D)S【】[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.(1)D【】[Key](2)C(3)设a,b是满足ab0的实数,那么(A)│a+b││a-b│(B)│a+b││a-b│(C)│a-b│││a│-│b│(D)│a-b││a│+│b│【】[Key](3)B(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设命题甲:点E,F,G,H不共面.命题乙:直线EF和GH不相交.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件.(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件.(C)甲是乙的充要条件.(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.【】[Key](4)A(5)在区间(-∞,0)上为增函数的是中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网【】[Key](5)B【】[Key](6)D(7)极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是(A)直线(B)圆(C)双曲线(D)抛物线【】[Key](7)B【】[Key](8)A中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网二、只要求写出结果.(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.(5)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.[Key]二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.三、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.[Key]三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.解法一:sin10°sin50°sin70°∴sin10°sin30°sin50°sin70°解法二:∵sin10°sin50°sin70°中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网,.解法三:sin10°sin30°sin50°sin70°==四、如图,三棱锥PABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.[Key]四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网证明:连结AD和PD.∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，∴BC⊥平面PAD,三棱锥BPAD体积同理,三棱锥CPAD的体积∴三棱锥PABC体积∵V=V1+V2,若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.五、设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围.[Key]五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.解:由题意得中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网化简为z(6-z)0,解得z6,或z0.④①式变形为log28-z0,∴z3,⑤综合④,⑤得z0,解①，⑥得a的取值范围：0a1.六、设复数z1和z2满足关系式其中A为不等于0的复数.证明:(1)│z1+A││z2+A│=│A│2;[Key]六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.解法一:(1)由已知的关系式得∵│z1+A││z2+A│由①证得│z1+A││z2+A│=││A│2│=│A│2.②(2)∵A≠0,由①得z1+A≠0,由此得中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网由②得解法二:(1)由题设所以证得(2)中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网以(1)中的结果代入得解法三:(1)由已知的关系式得令z1+A=r(cosα+isinα),z2+A=s(cosβ+isinβ),由于A≠0,我们有r≠0,s≠0.由①得rs[cos(α-β)+isin(α-β)]=│A│2,于是rscos(α-β)=│A│2,sin(α-β)=0,∴cos(α-β)=1,rs=│A│2,而│z1+A││z2+A│=rs,所以证得│z1+A││z2+A│=│A│2.解法四:(1)│z1+A││z2+A│中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网=│A│2.(2)由A≠0和(1)的结论知z2+A≠0.利用(1)的结果七、设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn与an的关系是其中是b与n无关的常数,且b≠-1.(1)求an和an-1的关系式;(2)写出用n和b表示an的表达式;[Key]七、本题考查数列、极限等知识和运算以及推理能力.解法一:(1)an=Sn-Sn-1由此解得中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网由此推得把②代入③得∵0b1时所以当0b1时解法二:(1)同解法一，(2)同解法一得,由①得我们来证明中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网由②知n=1时③式成立.设n=K时③式成立,则由递推公式①有即当n=K+1时③式也成立.由归纳原理,对任意自然数n,③式成立.以下同解法一.(3)同解法一.八、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.[Key]八、本题考查距离公式、中点坐标等解析几何知识、最小值知识及分析问题的能力.解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3,那么32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2·[(y2+y1)2+1].②线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为由②得并且当(y1-y2)2=(y1+y2)2+1=3③下面证明x能达到最小值,根据题意不防设y1y2,由③得中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网解法二:设A(x1,y1)和B(x2,y2),那么32=(x2-x1)2+(y2-y1)2.②AB中点M(x,y)到y轴的距离由②得整理得4(y1y2)2+2y1y2+32-4x2-2x=0,④因y1y2为实数,故△=4-4×4(32-4x2-2x)≥0,由此得16x2+8x+1≥4×32,(4x+1)2≥4×32,因为x≥0,所以4x+1≥6,由⑥,⑦可解得y1,y2,由①即得相应x1,x2,故AB中点M距y轴最短距离为且相应中点坐标为解法三:同解法二得④,由此得中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网以下同解法二.九、(附加题,不计入总分)(2)设y=xln(1+x2),求y′.[Key]九、本题考查极限和导数运算.