1983年全国高中数学联赛试题及详细解析

第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=ab+cd，Q=ma+nc·bm+dn，那么A．P≥QB．P≤QC．PQD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．[来源:学.科.网]⑺在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有A．9个B．17个C．1个D．5个⑻任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l、R与r，那么A．lR+rB．l≤R+rC．l6R+r6lD．A、B、C三种关系都不对2．填充题(本题满分18分，每小题6分)⑴在△ABC中，sinA=35，cosB=513，那么cosC的值等于．⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数mn，那么积m∙n是．第二试1．(本题满分8分)求证：arcsinx+arccosx=2，其中x∈[－1，1]2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|12．[来源:Z+xx+k.Com]5．(本题满分18分)函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|在0≤x≤32π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．1983年全国高中数学联赛解答[来源:学+科+网]第一试1．选择题(本题满分32分，每题答对者得4分，答错者得0分，不答得1分)⑴设p、q是自然数，条件甲：p3－q3是偶数；条件乙：p+q是偶数．那么A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件⑵x=1log1213+1log1513的值是属于区间A．(－2，－1)B．(1，2)C．(－3，－2)D．(2，3)【答案】D【解析】x=log32+log35=log310∈(2，3)，选D．[来源:Zxxk.Com]⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要条件是A．a≥114B．a=114C．a≥1D．0a1【答案】A【解析】M∩N=N的充要条件是圆x2+(y－a)2≤1在抛物线y=x2内部(上方)．即a≥1，且方程y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，a≥114，选A．⑸已知函数f(x)=ax2－c，满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)应满足A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－283≤f(3)≤353⑹设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=ab+cd，Q=ma+nc·bm+dn，那么A．P≥QB．P≤QC．PQD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．【答案】B【解析】由柯西不等式，Q≥P．选B．2．填充题(本题满分18分，每小题6分)⑴在△ABC中，sinA=35，cosB=513，那么cosC的值等于．【答案】1665【解析】cosA=±45，sinB=1213，但若cosA=－45，则A135°，cosB=513cos60°，B60°，矛盾．故cosA=45．∴cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－513·45+35·1213=1665．⑵三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有个．【答案】36【解析】设另两边为x，y，且x≤y．则得x≤y≤11，x+y11，在直角坐标系内作直线y=x，y=11，x=11，x+y=11，则所求三角形数等于由此四条直线围成三角形内的整点数．(含y=11，y=x上的整点，不含x+y=11上的整点)共有122÷4=36个．即填36．⑶一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数mn，那么积m∙n是．第二试1．(本题满分8分)求证：arcsinx+arccosx=π2，其中x∈[－1，1]【解析】证明：由于x∈[－1，1]，故arcsinx与arccosx有意义，sin(π2－arccosx)=cos(arccosx)=x，由于arccosx∈[0，π]，∴π2－arccosx∈[－π2，π2]．故根据反正弦定义，有arcsinx=π2－arccosx．故证．2．(本题满分16分)函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1)．如果对于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)||x1－x2|．求证：|f(x1)－f(x2)|12．【解析】证明：不妨取0≤x1x2≤1,若|x1-x2|≤12，则必有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|12．若|x1-x2|12，则x2－x112,于是1－(x2－x1)12,即1－x2+x1－012．而|f(x1)-f(x2)|=|(f(x1)-f(0))-(f(x2)－f(1))|≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)||x1－0|+|1－x2|=1－x2+x1－012．故证.3．(本题满分16分)在四边形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面积比是3∶4∶1，点M、N分别在AC、CD上满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三点共线．求证：M与N分别是AC与CD的中点．4.(本题满分16分)在在六条棱长分别为2，3，3，4，5，5的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论．5．(本题满分18分)函数F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|在0≤x≤32π上的最大值M与参数A、B有关，问A、B取什么值时，M为最小？证明你的结论．[来源:学科网ZXXK]