1988年全国高中数学联赛试题及详细解析

一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θπ3；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么b4－b3a2－a1=．2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则DEBC=．1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+1－an(an·an+1为奇数)．试证：对一切n∈N*，an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：SPQRSABC29．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：[来源:Z§xx§k.Com]⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；[来源:Zxxk.Com]⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．[来源:学|科|网Z|X|X|K]并证明你的结论．NACBPQRH1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|1B．|k|≠1C．－1k1D．0|k|1【答案】D【解析】因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－10，选D．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θπ3；命题乙：a、b、c相交于一点．则[来源:学科网]A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】均正确，选D．2．(x+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．【答案】12(32n+1+1)【解析】(x+2)2n+1－(x－2)2n+1=2(C12n+12xn+C32n+123xn－1+C52n+125xn－2+…+C2n+12n+122n+1)．令x=1，得所求系数和=12(32n+1+1)．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则DEBC=．【答案】|cos|【解析】△AED∽△ABC，DEBC=ADAC=|cosα|．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a、b为正实数，且1a+1b=1．试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．【解析】证明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2ab，∴ab≥2ab，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．又ak+bk≥2akbk=2(a+b)k≥2k+1．下面用数学归纳法证明：1°当n=1时，左=右=0．左≥右成立．2°设当n=k(k≥1，k∈N)时结论成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．则(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak－1+bk－1)=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak－1+bk－1)≥4∙(22k－2k+1)+4∙2k=22(k+1)－4∙2k+1+4∙2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命题对于n=k+1也成立．故对于一切n∈N*，命题成立．二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=5an+1－3an(an·an+1为偶数)，an+1－an(an·an+1为奇数)．试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证an≢0(mod4)或an≢0(mod3)．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：SPQRSABC29．【解析】证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ=13．则SPQRSABC=PQ·RHAB·CN=PQAB·ARAC，但AB12，于是PQAB23，AP≤AB－PQ12－13=16，∴AR=13－AP16，AC12，故ARAC13，从而SPQRSABC29．[来源:学.科.网]三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；NACBPQRH⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．【解析】证明：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn≠±1．由于k1－mkm随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k1－m0k1≥－1，从而必存在一个m值，m=m1(m1≤m0)，使km1－1≤－1，而－1km1=km1－1km1－10，此时km1·km1+10．即此时不存在这样的直线族．综上可知这样的直线族不存在．