1991高考数学全国卷及答案文

1991年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分．一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内奎屯王新敞新疆(1)已知sinα=54，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于()(A)34(B)43(C)43(D)34(2)焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是()(A)y2=8(x＋1)(B)y2=－8(x＋1)(C)y2=8(x－1)(D)y2=－8(x－1)(3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是()(A)2(B)π(C)2π(D)4π(4)P(2，5)关于直线x＋y=0的对称点的坐标是()(A)(5，2)(B)(2，－5)(C)(－5，－2)(D)(－2，－5)(5)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对(6)函数y=sin(2x＋25)的图像的一条对称轴的方程是()(A)x=－2(B)x=－4(C)x=8(D)x=45(7)如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(8)已知{an}是等比数列，且an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(9)已知函数y=156xx(x∈R，且x≠1)，那么它的反函数为()(A)y=156xx(x∈R，且x≠1)(B)y=65xx(x∈R，且x≠6)(C)y=561xx(x∈R，且x≠－65)(D)y=56xx(x∈R，且x≠－5)(10)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()(A)140种(B)84种(C)70种（D）35种(11)设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()(A)丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件(12))]511)(411)(311([limnn…(1－21n)]的值等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果AC0且BC0，那么直线Ax＋By＋C=0不通过．．．()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(14)如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()(A)增函数且最小值为－5(B)增函数且最大值为－5(C)减函数且最小值为－5(D)减函数且最大值为－5(15)圆x2＋2x＋y2＋4y－3=0上到直线x＋y＋1=0的距离为2的点共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．(16)双曲线以直线x=－1和y=2为对称轴，如果它的一个焦点在y轴上，那么它的另一焦点的坐标是__________________．(17)已知sinx=215，则sin2(x－4)=____________奎屯王新敞新疆(18)不等式lg(x2＋2x＋2)1的解集是_____________奎屯王新敞新疆(19)在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a1，那么a=_____________奎屯王新敞新疆(20)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知顶点A上三条棱长分别是32、、2．如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos2α＋cos2β＋cos2γ=_________奎屯王新敞新疆三、解答题：本大题共6小题；共60分．(21)(本小题满分8分)求函数y=sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x的最大值．(22)(本小题满分8分)已知复数z=1＋i,求复数1632zzz的模和辐角的主值．(23)(本小题满分10分)如图，在三棱台A1B1C1－ABC中，已知A1A⊥底面ABC，A1A=A1B1=B1C1=a，B1B⊥BC，且B1B和底面ABC所成的角45º，求这个棱台的体积．(24)(本小题满分10分)设{an}是等差数列，bn=(21)an．已知b1＋b2＋b3=821,b1b2b3=81．求等差数列的通项an．(25)(本小题满分12分)设a0，a≠1，解关于x的不等式.)1(2242axxaa(26)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x＋1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=210．求椭圆的方程．1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．二．每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．三．为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．四．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．五．只给整数分数．一．选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．(1)A(2)D(3)B(4)C(5)B(6)A(7)D(8)A(9)B(10)C(11)A(12)C(13)C(14)B(15)C二．填空题．本题考查基本知识基本运算．每小题3分，满分15分．(16)(－2，2)(17)2－5(18){x|－4x2}(19)1+510(20)2三．解答题(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质．满分8分．解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x＋cos2x)+2sinxcosx+2cos2x——2分=1+sin2x+(1＋cos2x)——4分=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+4)．——6分当sin(2x+4)=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+2．——8分注：没有说明“当sin(2x+4)=1时，函数y有最大值”而得出正确答案，不扣分．(22)本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．解：1632zzz=116)1(3)1(2iii=ii23——2分=1－i．——4分1－i的模r=22)1(1=2．因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=－1，所以辐角的主值θ=47π．——8分(23)本小题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．解：因为A1A⊥底面ABC，所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC．又BC⊥BB1，且棱AA1和BB1的延长线交于一点，所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1，从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB．∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90º．并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角，∠ABB1=45º．——3分作B1D⊥AB交AB于D，则B1D∥A1A，故B1D⊥底面ABC．∵Rt△B1DB中∠DBB1=45º，∴DB=DB1=AA1=a，∴AB=2a．——6分由于棱台的两个底面相似，故Rt△ABC∽Rt△A1B1C1．∵B1C1=A1B1=a，AB=2a，∴BC=2a．∴S上=21A1B1×B1C1=22a．S下=21AB×BC=2a2．——8分V棱台=31·A1A·下下上上SSSS=31·a·.67222232222aaaaa——10分(24)本小题考查等差数列，等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力．满分10分．解设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+(n－1)d．∴dnanb1121b1b3=121a·da2121=da1221=22b．由b1b2b3=81，得32b=81，解得b2=21．——3分代入已知条件.82181321321bbbbbb，整理得.817413131bbbb，解这个方程组得b1=2，b3=81或b1=81，b3=2——6分∴a1=－1，d=2或a1=3，d=－2．——8分所以，当a1=－1，d=2时an=a1+(n－1)d=2n－3．当a1=3，d=－2时an=a1+(n－1)d=5－2n．——10分(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力．满分12分．解法一原不等式可写成2242axxaa．①——1分根据指数函数性质，分为两种情形讨论：(Ⅰ)当0a1时，由①式得x4－2x2+a20，②——3分由于0a1时，判别式△=4－4a20,所以②式等价于.11112222axax，——5分解③式得x－211a或x211a，解④式得－211ax211a．——7分所以，0a1时，原不等式的解集为{x|－211ax－211a}∪{x|211ax211a}．——8分(Ⅱ)当a1时，由①式得x4－2x2＋a20，⑤——9分由于a1，判别式△0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为{x|－∞x＋∞}．——12分综合得当0a1时，原不等式的解集为{x|－211ax－211a}∪{x|211ax211a}；当a1时，原不等式的解集为{x|－∞x＋∞}．解法二原不等式可写成2242axxaa．①——1分③④(Ⅰ)当0a1时，由①式得x4－2x2＋a20，②——3分分解因式得(x2－1＋21a)(x2－1－21a)0．③即;011,0112222axax或.011,0112222axax——5分解由④、⑤组成的不等式组得－211ax－211a．或211ax211a．——7分由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0a1时，原不等式的解集为{x|－211ax－211a}∪{x|211ax211a}；——8分(Ⅱ)当a1时，由①式得x4－2x2＋a20，⑧——9分配方得(x2－1)2＋a2－10，⑨对任意实数x，不等式⑨都成立，即a1时，原不等式的解集为{x|－∞x＋∞}．——12分综合得当0a1时，原不等式的解集为{x|－211ax－211a}∪{x|211ax211a}；当a1时，原不等式的解集为{x|－∞x＋∞}．(26)本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力．满分12分．解法一设所求椭圆方程为.12222byax依题意知，点P、Q的坐标满足方程组④⑤⑥⑦.1,12222xybyax将②式代入①式，整理得(a2＋b2)x2＋2a2x＋a2(1－b2)=0,③——2分设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x＋1与椭圆的交点为P(x1，x1＋1)，Q(x2，x2＋1)．——3分由题设OP⊥OQ,|PQ|=210，可得.210111112212212