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1991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分.一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内奎屯王新敞新疆(1)已知sinα=54,并且α是第二象限的角,那么tgα的值等于()(A)34(B)43(C)43(D)34(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是()(A)y2=8(x+1)(B)y2=-8(x+1)(C)y2=8(x-1)(D)y2=-8(x-1)(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是()(A)2(B)π(C)2π(D)4π(4)P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是()(A)(5,2)(B)(2,-5)(C)(-5,-2)(D)(-2,-5)(5)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有()(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对(6)函数y=sin(2x+25)的图像的一条对称轴的方程是()(A)x=-2(B)x=-4(C)x=8(D)x=45(7)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(8)已知{an}是等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(9)已知函数y=156xx(x∈R,且x≠1),那么它的反函数为()(A)y=156xx(x∈R,且x≠1)(B)y=65xx(x∈R,且x≠6)(C)y=561xx(x∈R,且x≠-65)(D)y=56xx(x∈R,且x≠-5)(10)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有()(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么()(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件(12))]511)(411)(311([limnn…(1-21n)]的值等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果AC0且BC0,那么直线Ax+By+C=0不通过...()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(14)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是()(A)增函数且最小值为-5(B)增函数且最大值为-5(C)减函数且最小值为-5(D)减函数且最大值为-5(15)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.(16)双曲线以直线x=-1和y=2为对称轴,如果它的一个焦点在y轴上,那么它的另一焦点的坐标是__________________.(17)已知sinx=215,则sin2(x-4)=____________奎屯王新敞新疆(18)不等式lg(x2+2x+2)1的解集是_____________奎屯王新敞新疆(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a1,那么a=_____________奎屯王新敞新疆(20)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知顶点A上三条棱长分别是32、、2.如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ,那么cos2α+cos2β+cos2γ=_________奎屯王新敞新疆三、解答题:本大题共6小题;共60分.(21)(本小题满分8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值.(22)(本小题满分8分)已知复数z=1+i,求复数1632zzz的模和辐角的主值.(23)(本小题满分10分)如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,已知A1A⊥底面ABC,A1A=A1B1=B1C1=a,B1B⊥BC,且B1B和底面ABC所成的角45º,求这个棱台的体积.(24)(本小题满分10分)设{an}是等差数列,bn=(21)an.已知b1+b2+b3=821,b1b2b3=81.求等差数列的通项an.(25)(本小题满分12分)设a0,a≠1,解关于x的不等式.)1(2242axxaa(26)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=210.求椭圆的方程.1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明:一.本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.二.每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.三.为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.五.只给整数分数.一.选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.(1)A(2)D(3)B(4)C(5)B(6)A(7)D(8)A(9)B(10)C(11)A(12)C(13)C(14)B(15)C二.填空题.本题考查基本知识基本运算.每小题3分,满分15分.(16)(-2,2)(17)2-5(18){x|-4x2}(19)1+510(20)2三.解答题(21)本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x——2分=1+sin2x+(1+cos2x)——4分=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+4).——6分当sin(2x+4)=1时,函数y有最大值,这时y的最大值等于2+2.——8分注:没有说明“当sin(2x+4)=1时,函数y有最大值”而得出正确答案,不扣分.(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.解:1632zzz=116)1(3)1(2iii=ii23——2分=1-i.——4分1-i的模r=22)1(1=2.因为1-i对应的点在第四象限且辐角的正切tgθ=-1,所以辐角的主值θ=47π.——8分(23)本小题考查直线与直线,直线与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.解:因为A1A⊥底面ABC,所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC.又BC⊥BB1,且棱AA1和BB1的延长线交于一点,所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1,从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB.∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90º.并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,∠ABB1=45º.——3分作B1D⊥AB交AB于D,则B1D∥A1A,故B1D⊥底面ABC.∵Rt△B1DB中∠DBB1=45º,∴DB=DB1=AA1=a,∴AB=2a.——6分由于棱台的两个底面相似,故Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.∵B1C1=A1B1=a,AB=2a,∴BC=2a.∴S上=21A1B1×B1C1=22a.S下=21AB×BC=2a2.——8分V棱台=31·A1A·下下上上SSSS=31·a·.67222232222aaaaa——10分(24)本小题考查等差数列,等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力.满分10分.解设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.∴dnanb1121b1b3=121a·da2121=da1221=22b.由b1b2b3=81,得32b=81,解得b2=21.——3分代入已知条件.82181321321bbbbbb,整理得.817413131bbbb,解这个方程组得b1=2,b3=81或b1=81,b3=2——6分∴a1=-1,d=2或a1=3,d=-2.——8分所以,当a1=-1,d=2时an=a1+(n-1)d=2n-3.当a1=3,d=-2时an=a1+(n-1)d=5-2n.——10分(25)本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力.满分12分.解法一原不等式可写成2242axxaa.①——1分根据指数函数性质,分为两种情形讨论:(Ⅰ)当0a1时,由①式得x4-2x2+a20,②——3分由于0a1时,判别式△=4-4a20,所以②式等价于.11112222axax,——5分解③式得x-211a或x211a,解④式得-211ax211a.——7分所以,0a1时,原不等式的解集为{x|-211ax-211a}∪{x|211ax211a}.——8分(Ⅱ)当a1时,由①式得x4-2x2+a20,⑤——9分由于a1,判别式△0,故⑤式对任意实数x成立,即得原不等式的解集为{x|-∞x+∞}.——12分综合得当0a1时,原不等式的解集为{x|-211ax-211a}∪{x|211ax211a};当a1时,原不等式的解集为{x|-∞x+∞}.解法二原不等式可写成2242axxaa.①——1分③④(Ⅰ)当0a1时,由①式得x4-2x2+a20,②——3分分解因式得(x2-1+21a)(x2-1-21a)0.③即;011,0112222axax或.011,0112222axax——5分解由④、⑤组成的不等式组得-211ax-211a.或211ax211a.——7分由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集;所以,0a1时,原不等式的解集为{x|-211ax-211a}∪{x|211ax211a};——8分(Ⅱ)当a1时,由①式得x4-2x2+a20,⑧——9分配方得(x2-1)2+a2-10,⑨对任意实数x,不等式⑨都成立,即a1时,原不等式的解集为{x|-∞x+∞}.——12分综合得当0a1时,原不等式的解集为{x|-211ax-211a}∪{x|211ax211a};当a1时,原不等式的解集为{x|-∞x+∞}.(26)本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力.满分12分.解法一设所求椭圆方程为.12222byax依题意知,点P、Q的坐标满足方程组④⑤⑥⑦.1,12222xybyax将②式代入①式,整理得(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0,③——2分设方程③的两个根分别为x1,x2,那么直线y=x+1与椭圆的交点为P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1).——3分由题设OP⊥OQ,|PQ|=210,可得.210111112212212
本文标题:1991高考数学试卷
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