1992年全国高中数学联赛试卷

1992年全国高中数学联赛试卷第一试一、选择题(每小题5分，共30分)1.对于每个自然数n，抛物线y(n2+n)x2(2n+1)x+1与x轴交于An,Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|的值是()(A)19921991(B)19931992(C)19931991(D)199219932.已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()(A)(x+21y)(y+21x)=0(B)(x21y)(y21x)=0(C)(x+21y)(y21x)=0(D)(x21y)(y+21x)=03.设四面体四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S，记=)(41iiS/S，则一定满足()(A)2≤4(B)34(C)2.5≤4.5(D)3.55.54.在△ABC中，角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1)，且ABACsinsin,都是方程xblog=logb(4x4)的根，则△ABC()(A)是等腰三角形,但不是直角三角形(B)是直角三角形,但不是等腰三角形(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形,也不是直角三角形5.设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B，且|z1|=4,4z122z1z2+z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为()(A)83(B)43(C)63(D)1236.设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)f(10x),f(20x)f(20+x)，则f(x)是(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数二、填空题(每小题5分共30分)1.设x,y,z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且zyx1,1,1成等差数列，则xzzx的值是______.2.在区间[0,]中，三角方程cos7xcos5x的解的个数是______.3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____.4.设z1,z2都是复数，且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7，则arg(12zz)3的值是______.5.设数列a1,a2,,an,满足a1a21,a32，且对任何自然数n,都有anan+1an+21，又anan+1an+2an+3an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2++a100的值是11O11xy____.6.函数f(x)=136324xxx124xx的最大值是_____.三、(20分)求证：17116801kk四、(20分)设l,m是两条异面直线，在l上有A,B,C三点，且AB=BC，过A,B,C分别作m的垂线AD,BE,CF，垂足依次是D,E,F，已知AD=15,BE=27CF=10，求l与m的距离．五、(20分)设n是自然数，fn(x)111xxxxnn(x0,1)，令y=x+x1.1.求证:fn+1(x)=yfn(x)fn-1(x),(n1)2.用数学归纳法证明：fn(x)=),21,,2,1(,)1()1(),2,,2,1(,)1()1(212121221122211为奇数为偶数nniCyCyCynniyCyCynnniniininnnniniininnn第二试一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1,H2,H3,H4依次为△A2A3A4，△A1A3A4,△A1A2A4,△A1A2A3的垂心，求证：H1,H2,H3,H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．二、(35分)设集合Sn={1,2,,n}．若X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0)，若X的容量为奇(偶)数，则称X为的奇(偶)子集．1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等．2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和．三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi(xi,yi)(i1,2,3,4,5,6)满足(1)|xi|≤2,|yi|≤2,(i1,2,3,4,5,6)，(2)任何三点不在同一条直线上．试证：在以Pi(i1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2．