1996年高考数学试题(全国文)及答案

1996年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的奎屯王新敞新疆(1)设全集I={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，B={3，5}．则()(A)I=A∪B；(B)I=A∪B；(C)I=A∪B；(D)A∪B。(2)当a1时，在同坐标系中．函数y=a－x与y=logax的图像是()(3)若sin2xcos2x，则x的取值范围是()(A)Zkkxkx,412432；(B)Zkkxkx,452412；(C)Zkkxkx,4141；(D)Zkkxkx,4341。(4)复数54)31()22ii（等于()(A)i31；(B)i31；(C)i31；(D)i31。(5)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()(A)720种；(B)360种；(C)240种；(D)120种。(6)已知α是第三象限角sinα=－2524，则tg2=()(A)34；(B)43；(C)－43；(D)－34。(7)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m=α，m⊥γ，那么必有()(A)α⊥γ且l⊥m(B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m(D)α∥β且α⊥γ(8)当－2≤x≤2时，函数f(x)=sinx＋3cosx的()(A)最大值是1，最小值是－1；(B)最大值是1，最小值是－21；(C)最大值是2，最小值是－2；(D)最大值是2，最小值是－1。(9)中心在原点，准线方程为x=±4，离心为21的椭圆方程是()(A)3422yx=1；(B)4322yx=1；(C)42x＋y2=1；(D)x2＋42y=1。(10)圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240º，该圆锥的体积()(A)8122；(B)818；(C)8154；（D)8110。(11)椭圆25x2－150x＋9y2＋18y＋9=0的两个焦点坐标是()(A)(－3，5)，(－3，－3)；(B)(3，3)，(3，－5)；(C)(1，1)，(－7，1)；(D)(7，－1)，(－1，－1)。(12)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥的D－ABC体积为()(A)63a；(B)123a；(C)3123a；(D)3122a。(13)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()(A)130；(B)170；(C)210；(D)260。(14)设双曲线2222byax=1(0ab)的半焦距为c，直线过l（a，0），（0，b）两点．已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为()(A)2；(B)3；(C)2；(D)332。(15)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7，5)等于()(A)0.5；(B)－0.5；(C)1.5；(D)－1.5。二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16)已知点(－2，3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5，则p=________奎屯王新敞新疆(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有__________个奎屯王新敞新疆（用数字作答）(18)40tg20tg340tg20tg的值是________奎屯王新敞新疆(19)如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60º的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________奎屯王新敞新疆三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分11分)解不等式loga(x＋1－a)1．(21)(本小题满分12分)设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S3＋S6=2S9，求数列的公比q．(22)(本小题满分11分)已知三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＋C=2B，CAcos1cos1=－Bcos2，求cos2)(CA的值．(23)(本小题满分12分)【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成(Ⅰ)证明的全过程；并解答(Ⅱ)．】如图：在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=31AA=a，E，F分别是BB1，CC1上的点且BE=a，CF=2a．(Ⅰ)求证：面AEF⊥面ACF；(Ⅱ)求三棱锥A1－AEF的体积．(Ⅰ)证明：①∵BE=a，CF=2a，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD．∴△DBE∽△DCF∴CFBEDEDB②_____________________∴DB=AB．③______________________∴DA⊥AC④_______________________∴FA⊥AD⑤_________________________∴面AEF⊥面ACF．(24)(本小题满分10分)某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?(粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/(总人口数))(25)(本小题满分12分)已知l1、l2是过点P02，的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．(Ⅰ)求l1的斜率k1的取值范围；(Ⅱ)若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数．四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C(2)A(3)D(4)B(5)C(6)D(7)A(8)D(9)A(10)C(11)B(12)D(13)C(14)A(15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4(17)32(18)3(19)42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．解：（Ⅰ）当a1时，原不等式等价于不等式组：.1,01aaxax解得x2a－1．(Ⅱ)当0a1时，原不等式等价于不等式组：.101aaxax解得a－1x2a－1综上，当a1时，不等式的解集为{x|x2a－1};当0a1时，不等式的解集为{x|a－1x2a－1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1．但a1≠0，即得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，q≠1．又依题意S3＋S6=2S9可得qqaqqaqqa1)1(21)1(1)1(916131整理得q3(2q6－q3－1)=0．由q≠0得方程2q6－q3－1=0．(2q3＋1)(q3－1)=0，∵q≠1，q3－1≠0，∴2q3＋1=0∴q=－243(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解法一：由题设条件知B=60º，A＋C=120º．∵－60cos2=－22∴CAcos1cos1=－22将上式化为cosA＋cosC=－22cosAcosC利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos2CAcos2CA=－2[cos(A＋C)＋cos(A－C)]将cos2)(CA=cos60º=21，cos(A+C)=21代入上式得cos2)(CA=22－2cos(A－C)cos(A－C)=2cos22)(CA－1代入上式并整理得42cos22)(CA＋2cos2)(CA－32=0，(2cos2CA－2)(22cos2CA＋3)=0．∵22cos2CA＋3≠0，∴2cos2CA－2=0，∴cos2CA=22．解法二：由题设条件知B=60º，A＋C=120º．设α=2CA则2CA=2α，可得A=60º＋α，C=60º－α所以)60cos(1)60cos(1cos1cos1ooCA=sin23cos211＋sin23cos211=22sin43cos41cos=43coscos2依题得Bcos243coscos2，∵cosB=21，∴2243coscos2．整理得42cos2α＋2cosα－32=0，(2cosα－2)(22cosα＋3)=0，∵22cosα＋3≠0，∴2cosα－2=0从而得cos222CA．(23)本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力运算能力．满分12分．(Ⅰ)②∵BE:CF=1:2∴DC=2BD，∴DB=BC，③∵△ABD是等腰三角形，且∠ABD=120º，∴∠BAD=30º，∴∠CAD=90º，④∵FC⊥面ACD，∴CA是FA在面ACD上射影，且CA⊥AD，⑤∵FA∩AC=A，DA⊥面ACF，DA面ADF⑥∴面ADF⊥面ACF．(Ⅱ)解：∵FAAEAEFAVV11．在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1，垂足为G．B1G=23a面A1B1C1⊥面A1C∵B1G⊥面A1C，∵E∈BB1，而BB1∥面A1C，∴三棱柱E－AA1F的高为23aFAAS1=AA1·2AC=232a∴43311aVVFAAEAEFA(24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．解：设耕地平均每年至多只能减少x公项，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷．依题意得不等式%10110%111010%2214104PMPxM化简得x≤103×[1－22.1)01.01(1.110]．∵22.101.011.1110103=103×[1－22.11.1×(1＋110C×0.01＋210C×0.012＋…)]≈103×[1－22.11.1×1.1045]≈4.19分∴x≤4(公顷)答：按规则该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．解：依题设：l1、l2都存在，因为l1过点P02，且与双曲线有两个交点，故方程组y=k1(x＋2)(k1≠0)，y2－x2=1①有两个不同的解，在方程组①中消去y，整理得(21k－1)x2＋2221kx＋221k－1=0②若(21k－1)=0，则方程①只有一个解，则l1与以曲线只有一个交点，与题设矛盾．故(21k－1)≠0，即|k1|≠1．方程②的判别式为△1=(2221k)2－4(21k－1)(221k－1)=4(321k－1)设l2的斜率k2，因为l2过点P02，且与双曲线有两个交点，故方程组y=k2(x＋2)(k2≠0)，y2－x2=1③有两个不同的解，在方程组③中消去y，整理得(22k－1)x2＋2222kx＋222k－1=0④同理有(22k－1)≠0，△2=4(322k