1997年试题

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网1997年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、sin600°的值是23.D23.C21.B21.A[Key]D2、函数)1a(ay|x|的图象是[Key]B3、曲线的极坐标方程sin4化成直角坐标方程为A．4)2y(x22B．4)2y(x22C．4y)2x(22D．4y)2x(22[Key]B4、两条直线0CyBxA,0CyBxA222111垂直的充要条件是A．0BBAA2121B．0BBAA2121C．1BBAA2121D．1BBAA2121[Key]A5、函数)0x(x1)x(f的反函数)x(f1中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网A．x(x≠0)B．)0x(x1C．-x(x≠0)D．)0x(x1[Key]B6、已知点)tg,cos(sinP在第一象限，则在)2,0(内α的取值范围是A．)45,()43,2(B．)45,()2,4(C．)23,45()43,2(D．),43()2,4([Key]B°7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A．120°B．150°C．180°D．240°[Key]C8、复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A．i2123B．i2123C．i2123D．i2123[Key]D9、如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么A．'SS22B．S'SS0C．'SSS02D．S'SS220[Key]A10、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网[Key]B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A．90种B．180种C．270种D．540种[Key]D12、椭圆131222yx的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[Key]A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．34B．32C．2D．3[Key]B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A．215arccosB．215arcsinC．251arccosD．251arcsin[Key]B中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网15、在等比数列{an}中，a11，且前n项和Sn满足11limaSnn，那么a1的取值范围是A．(1,+∞)B．(1,4)C．(1,2)D．(1,2)[Key]D16、设圆过双曲线116922yx的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_______。[Key]31617、)1()2(210xx的展开式中x10的系数为____（用数字作答）。[Key]17918、如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_____时，有A1C⊥B1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）[Key]AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件。例如ABCD是正方形，菱形等。19、关于函数))(32sin(4)(Rxxxf，有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍；②)(xfy的表达式可改写为)62cos(4xy；③)(xfy的图象关于点)0,6(对称；④)(xfy的图象关于直线6x对称。中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网其中正确的命题的序号是。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）[Key]②，③注：第19题多填、漏填和错填均给0分。20、（本小题满分10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设3,2CAbca。求sinB的值。以下公式供解题时参考：2sin2sin2coscos,2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin,2cos2sin2sinsin[Key]本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。满分10分。解：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB由和差化积公式得BCACAsin22cos2sin2由A+B+C=π得2cos2sinBCA83941323sin)0,41(8432sin02cos.2202cos2sin22cos23sin2cos2332ByxxyBBBBBBBBCA从而得又中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网21、（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。[Key]本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想。考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力。满分11分。解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为)0,(),0(22yxxxppxyBA，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。)2(92)2()1(172)2(3||,17||)0,2(),0,2(22AAAApxpxpxpxANAMpNpM得由所以由①，②两式联立解得pxA4。再将其代入①式并由p0解得2214AAxpxp或因为△AMN是锐角三角形，所以Axp2，故舍去22Axp∴p=4,xA=1由点B在曲线段C上，得42||pBNxB。中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网综上得曲线段C的方程为)0,41(82yxxy解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有)0,63)(2(8}0,,)(|),{(),(6||||4||||||||||22||||||3|||||22222222yxxyCyxxxxyxxyxPCyxPNBBExAEAMMEENMExAMNDAAMDMyANDAMExBANBNAA的方程故曲线段属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点为锐角三角形故有由于22、（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网数与a，b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。[Key]本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识。满分12分。解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则abky，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小。.,264218264)2(234)2642(3426432230)1()300(230)0,0(602242达到最小值时取等号当于是得根据题设有yaakaakaakaakaaakabkyaaabbaaabb这时a=6,a=-10(舍去)将a=6代入①式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大。由题设知0)13(49)0,0(302)0,0(602242kkbaabbabaaabb即当且仅当a=2b时，上式取等号。由a0,b0，解得0ab≤18即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。2b2=18解b=3,a=6故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网23、（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=23，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。[Key]本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分。注：题中赋分为得得该结论时所得分值，不给中间分。（Ⅰ）解：作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角。∵∠AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AD=45°为所求（Ⅱ）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。由已知，AB⊥BC，得ED//BC，又D是AC的中点，BC=2，AC=23∴DE=1，AD=A1D=3，311DEDAEDtgA故∠A1ED=60°为所求。（Ⅲ）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB又A1E⊥AB，知HB//A1E，且BC//ED，∴∠HBC=∠A1ED=60°∴360sinBCCH为所求解法二：连结A1B根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h。由为所求即得锥锥332231223131311111hhDAShSVVABCBAAABCACABAC24、（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。（Ⅰ）写出曲线C1的方程；（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点)2,2(stA对称；（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明tts43且t≠0。[Key]本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉中国教育开发网查运动、交换等数学思想方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力。满分12分。（Ⅰ）解：曲线C1的方程为y=(x-t)3+(x-t)+s（Ⅱ）证明：在曲线C上任取一点B1(x1,y1)。。设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点，则有：21212121,22,22ysyxtxsyytxx