2-2推理与证明测试题

《数学选修2-2》推理与证明第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、下列表述正确的是().①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤.2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()Ａ.充分条件Ｂ.必要条件Ｃ.充要条件Ｄ.等价条件3、在ABC△中,sinsincoscosACAC,则ABC△一定是()Ａ.锐角三角形Ｂ.钝角三角形Ｃ.直角三角形Ｄ.不确定4、下面使用类比推理正确的是()A.直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类推出:向量a,b,c,若a//b,b//c,则a//cB.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.类推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.C.实数,ab,若方程20xaxb有实数根,则24ab.类推出:复数,ab,若方程20xaxb有实数根,则24ab.D.以点(0,0)为圆心,r为半径的圆的方程为222xyr.类推出:以点(0,0,0)为球心,r为半径的球的方程为2222xyzr.5、(1)已知332pq,求证2pq≤,用反证法证明时,可假设2pq≥;(2)已知abR，,1ab,求证方程20xaxb的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x的绝对值大于或等于1,即假设11x≥,以下结论正确的是()A.(1)的假设错误,(2)的假设正确B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)与(2)的假设都错误6、观察式子:213122,221151233,222111712344,,则可归纳出式子为()Ａ.22211111(2)2321nnn≥Ｂ.22211111(2)2321nnn≥Ｃ.222111211(2)23nnnn≥Ｄ.22211121(2)2321nnnn≥7、已知扇形的弧长为l,所在圆的半径为r,类比三角形的面积公式:12S底高,可得扇形的面积公式为()Ａ.212rＢ.212lＣ.12rlＤ.不可类比8、定义ADDCCBBA,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是()(1)(2)(3)(4)(A)(B)A.DADB,B.CADB,C.DACB,D.DADC,9、观察下列各式:211,22343,2345675,2456789107,,可以得出的一般结论是()A.2(1)(2)(32)nnnnnB.2(1)(2)(32)(21)nnnnnC.2(1)(2)(31)nnnnnD.2(1)(2)(31)(21)nnnnn10、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)nnnnnn····,从k到1k,左边需要增乘的代数式为()A.2(21)kB.21kC.211kkD.231kk11、正整数按下表的规律排列则上起第2009行,左起第2010列的数应为()A.22009B.22010C.20092010D.2009201012、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理如下图:12510174361118987121916151413202524232221现在加密密钥为)2(logxya,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为()A.12B.13C.14D.15第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、数列2,5,11,20,,47,x…中的x等于______________.14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112,111123,111312372,111122315,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式.15、已知命题:“若数列na是等比数列,且0na,则数列12()nnnbaaanN也是等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.16、若数列na的通项公式)()1(12Nnnan,记)1()1)(1()(21naaanf,试通过计算)3(),2(),1(fff的值,推测出.________________)(nf三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)已知:23150sin90sin30sin2222223sin10sin70sin130223125sin65sin5sin222通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.解密密钥密码加密密钥密码明文密文密文发送明文18、(12分)如图(1),在三角形ABC中,ABAC,若ADBC,则2ABBDBC·;若类比该命题,如图(2),三棱锥ABCD中,AD面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题.19、(12分)已知实数abcd，，，满足1abcd,1acbd,求证abcd，，，中至少有一个是负数.20、(12分)已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论.21、(12分)已知命题:“若数列na为等差数列,且,mnaaab),,(Nnmnm,则mnmanbamn”.现已知数列),0(Nnbbnn为等比数列,且,abmbbn),,(Nnmnm.(1)请给出已知命的证明;(2)类比(1)的方法与结论,推导出mnb.22、(14分)在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为,对于A中的任意两个元素(,)ab,(,)cd,规定:(,)adbcbdac.(1)计算:)3,2()4,1(;(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;(3)若“A中的元素(,)Ixy”是“对A,都有II成立”的充要条件,试求出元素I.参考答案1.D由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确.2.A由分析法的定义知A正确.3.B由已知得sinsincoscoscos()0,ACACAC∴cos()0,AC∴AC为锐角,得B为钝角,ABC△为钝角三角形.4.D若向量b=0,则a//c不正确;空间内,直线a与b可以相交、平行、异面,故B不正确;方程200(1)0xixi有实根,但24ab不成立;设点(,,)Pxyz是球面上的任一点,由OPr,得222xyzr,D正确.5.A用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以2pq≤的假命题应为.2qp6.Ｃ由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.7.Ｃ三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.8.B观察知A表示“︱”,B表示“□”,C表示“－”,D表示“○”,故选B.9.B等式右边的底数为左边的项数.10.A当nk时,左边=(1)(2)()kkkk1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]nkkkkk当时左边(2)(3)()(1)(2)kkkkkkkk(1)(2)(1)(2)()1kkkkkkkkk(1)(2)()[2(21)]kkkkk,∴从k到1k,左边需要增乘的代数式为2(21)k.11.D由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为22009200920092010.12.C由其加密、解密原理可知,当x=6时,y=3,从而a=2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有)2(log42b,从而有14224b.13.321547,1220,91120,6511,325xx,∴32x14.一般不等式为:1111()23212nnnN.15.若数列na是等差数列,则数列12nnaaabn也是等差数列.证明如下:设等差数列na的公差为d,则12nnaaabn11(1)2(1)2nndnadann,所以数列nb是以1a为首项,2d为公差的等差数列.16.2()22nfnn22332222141)13(1,31)12(1,21)11(1aaa1211113(1)11(1)(1),22222fa同理1222111324(2)(1)(1)(1)(1)232233faa123222111132435(3)(1)(1)(1)(1)(1)(1)234223344faaa∴222111()(1)(1)[1]23(1)fnn111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)223311nn1324322...223341122nnnnnn17.解:一般性的命题为2223sin(60)sinsin(60)2证明:左边001cos(2120)1cos21cos(2120)222003[cos(2120)cos2cos(2120)]232所以左边等于右边18.解:命题是:三棱锥ABCD中,AD面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有2ABCBCMBCDSSS△△△·是一个真命题.证明如下:在图(2)中,连结DM,并延长交BC于E,连结AE,则有DEBC.因为AD面ABC,,所以ADAE.又AMDE,所以2AEEMED·.于是22111222ABCBCMBCDSBCAEBCEMBCEDSS△△△·····.19.证明:假设abcd，，，都是非负实数,因为1abcd,所以abcd，，，[01]，,所以2acacac≤≤,2bcbdbd≤≤,所以122acbdacbd≤,这与已知1acbd相矛盾,所以原假设不成立,即证得abcd，，，中至少有一个是负数.20.解:(1)a1＝23,a2＝47,a3＝815,猜测an＝2－n21(2)①由(1)已得当n＝1时,命题成立;②假设n＝k时,命题成立,即ak＝2－k21,当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－k21,ak＋1＝2－121k,即当n＝k＋1时,命题成立.根据①②得n∈N+,