2-31.3二项式定理第1课时

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网第一章1.3第1课时一、选择题1．1－2C1n＋4C2n－8C3n＋16C4n＋…＋(－2)nCnn＝()A．1B．－1C．(－1)nD．3n[答案]C[解析]原式＝(1－2)n＝(－1)n.故选C.2．S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于()A．(x－2)4B．x4C．(x＋1)4D．x4＋1[答案]B[解析]S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝[(x－1)＋1]4＝x4.故应选B.3.ax－xa26的展开式的第三项为()A.15xB．－15xC．－6x2a2D．20a2[答案]A[解析]T3＝T2＋1＝C26ax4·－xa22＝15x.故应选A.4．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10[答案]B[解析]本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质．(1＋2x)5展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，令r＝2得T3＝40x2，∴x2的系数为40，故选B.21·cn·jy·com5．(2014·湖南理，4)(12x－2y)5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20[答案]A本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网[解析]展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5(12x)5－r·(－2y)r＝(12)5－r·(－2)rCr5x5－ryr.当r＝3时为T4＝(12)2(－2)3C35x2y3＝－20x2y3，故选A.6．在32x－1220的展开式中，系数是有理数的项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项[答案]A[解析]Tr＋1＝Cr20(32x)20－r－12r＝－22r·(32)20－rCr20·x20－r＝－12r·Cr20·240＋r6·x20－r.，∵系数为有理数．且0≤r≤20.∴r＝2,8,14,20.故选A.7．(x＋12x)8的展开式中常数项为()A.3516B．358C.354D．105[答案]B[解析]Tr＋1＝Cr8(x)8－r(12x)r＝Cr8·12r×x8－2r6，当r＝4时，Tr＋1为常数，此时C48×124＝358，故选B.二、填空题8．(2012·湖南理)(2x－1x)6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)[答案]－160[解析]考查二项式定理特殊项的求法．由题意知，设常数项为Tr＋1，则Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·(－1x)r＝Cr626－r(－1)rx6－r2x－r2，∴3－r＝0，∴r＝3，∴Tr＋1＝－160，注意常数项是x的次数为0.21·世纪*教育网9．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项是第4项，则n的值为____________．[答案]9[解析]∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网又∵第4项为含x3的项，∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.三、解答题10．(1)求(1＋2x)7的展开式中第四项的系数；(2)求x－1x9的展开式中x3的系数及二项式系数．[解析](1)(1＋2x)7的展开式的第4项为T3＋1＝C37(2x)3＝280x3，∴(1＋2x)7的展开式中第四项的系数是280.(2)∵x－1x9的展开式的通项为Tr＋1＝Cr9x9－r－1xr＝(－1)r·Cr9x9－2r.令9－2r＝3，r＝3，∴x3的系数为(－1)3C39＝－84.x3的二项式系数为C39＝84.一、选择题1.2x＋1x27的展开式中倒数第三项的系数是()A．C67·2B．C67·26C．C67·22D．C57·22[答案]D[解析]2x＋1x27的展开式共有8项，倒数第三项为展开式中第6项，T6＝C57(2x)2·1x25，系数为C57·22.故选D.21cnjy.com2．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．207[答案]D[解析]x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．∴其系数为C510＋C210(－1)＝207.3．(2013·辽宁理，7)使(3x＋1xx)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网[答案]B[解析]由二项式的通项公式得Tr＋1＝Crn3n－rxn－52r，若展开式中含有常数项，则n－52r＝0，即n＝52r，所以n最小值为5.选B.21教育网二、填空题4．若(a3＋4b2)n的展开式中有一项是ma12b8，则m、n的值分别为________．[答案]17920、8[解析]令Tk＋1＝Ckn(a3)n－k(4b2)k＝ma12b8，则有3n－k＝122k＝84kCkn＝m，解得k＝4n＝8m＝17920.5．(2014·景德镇市高二质检)设a＝0πsinxdx，则二项式(ax－1x)6的展开式中的常数项等于________．2·1·c·n·j·y[答案]－160[解析]a＝0πsinxdx＝(－cosx)|π0＝2，二项式(2x－1x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(2x)6－r·(－1x)r＝(－1)r·26－r·Cr6x3－r，令3－r＝0得，r＝3，∴常数项为(－1)3·23·C36＝－160.三、解答题6．已知x＋2x2n的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比为，求展开式中的常数项．[解析]T5＝C4n(x)n－424x－8＝16C4nxn－202，T3＝C2n(x)n－222x－4＝4C2nxn－102.由题意知，16C4n4C2n＝563，解得n＝10.Tk＋1＝Ck10(x)10－k2kx－2k＝2kCk10x10－5k2，令5－5k2＝0，解得k＝2，∴展开式中的常数项为C21022＝180.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网7．求(1＋x＋x2)8展开式中x5的系数．[解析]解法1：(1＋x＋x2)8＝[1＋(x＋x2)]8.∴Tr＋1＝Cr8(x＋x2)r，则x5的系数由(x＋x2)r来决定．T′k＋1＝Ckrxr－kx2k＝Ckrxr＋k，令r＋k＝5，∵k≤r，∴r1＝5k1＝0；或r2＝4k2＝1；或r3＝3k3＝2.∴含x5的系数为C58C05＋C48C14＋C38C23＝504.解法2：(1＋x＋x2)＝[(1＋x)＋x2]8＝C08(1＋x)8＋C18(1＋x)7·x2＋C28(1＋x)6·(x2)2＋C38(1＋x)5·(x2)3＋…，则展开式中含x5的系数为C08C58＋C18C37＋C28C16＝504.21世纪教育网版权所有8．在2x2－13x8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)倒数第3项．[解析]要求展开式中某些特定的项或特定的系数时，可以不必写出全部的展开式，只需利用通项公式即可．(1)∵T5＝C48·(2x2)8－4·13x4＝C48·24·x203，∴第5项的二项式系数是C48＝70，第5项的系数是C48·24＝1120.(2)解法1：展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C68·(2x2)8－6·－13x6＝112x2.解法2：在2x2－13x8展开式中的倒数第3项就是13x－2x28展开式中的第3项，T3＝C28·13x8－2·(2x2)2＝112x2.【来源：21·世纪·教育·网】