21三重积分的计算

1第三节三重积分的计算一、利用直角坐标系计算三重积分三重积分的定义：niiiiiVfdVzyxf10),,(lim),,(．三重积分中体积元素可表示为dxdydzdV，于是dxdydzzyxfdVzyxf),,(),,(．三重积分的计算是将其化为计算一个定积分和一个二重积分，最终都要转化为计算三次定积分．１、坐标面投影法（先一后二计算法）由上次课的引例知，三重积分dVzyxf),,(可看成为体密度为),,(zyxf且占有空间区域的立体的质量．设区域在xOy面上的投影区域为D，以D的边界为准线作平行于z轴的柱面，将V分为上下两个曲面，其方程分别为),(:22yxzz),(:11yxzz设它们为D上的单值连续函数，且),(),(21yxzzyxz，用垂直于x轴和y轴的平面将区域D分为若干个细长条，对应于小区域d高度为dz的小薄片的质量近似等于dzdzyxf),,(，所以细长条的质量用微元2法求得为ddzzyxfdzdzyxfyxzyxzyxzyxz]),,([),,(),(),(),(),(2121再将其在区域D上求二重积分，得到立体的质量为DyxzyxzddzzyxfdVzyxf]),,([),,(),(),(21上面公式对于一般情形仍然成立，于是我们有下面结果．当积分区域可以表示为:xyDyxyxzzyxz),(),(),(21其中xyD为在xOy面上的投影，此时称为xy－型区域．则有计算公式xyDyxzyxzdxdydzzyxfdVzyxf]),,([),,(),(),(21．进一步，如果D是x－型区域，即可表示为如下不等式组：),(),()()(2121yxzzyxzxyyxybxa则Dyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf]),,([),,(),(),(21),(),()()(2121),,(yxzyxzxyxybadzzyxfdydx由于上面计算公式实际上是先求一个单积分，再求一个二重积分，3因此称为先一后二计算法．类似地，积分区域还有yz－型区域，zx－型区域，都有类似公式．例如对于yz－型区域，可表示为),(),(),(21yzDzyzyxxzyx则有公式yzDzyxzyxddxzyxfdVzyxf]),,([),,(),(),(21例１计算三重积分Vxdxdydz，其中V为三个坐标面和平面12zyx所围成的闭区域．解从图上看出，积分区域可以用如下不等式组表示为yxzxyx21021010由上面公式有481)2(41)21(10322101021021010dxxxxdyyxxdxxdzdydxxdxdydzxyxxV例２求由抛物面zyx622，平面0x，0y，1x，42y及zy4所围成的立体的体积．解从立体图形看出，区域V可以用不等式组表示为2264/2010yxzyyx64922642010yxyVdzdydxdVV．２、坐标投影法（截面法或先二后一法）如果将空间区域向z轴作投影得一投影区间],[qp，且能够表示为：qzpDyxz),(．其中zD是过点),0,0(z且平行于xOy面的平面截所得的平面区域，就称为z型空间区域。当为z型空间区域时，对于固定的],[qpz，我们先在截面上作二重积分zDdxdyzyxf),,(，而z在区间],[qp上变动时，该二重积分是],[qpz的函数zDdxdyzyxfz),,()(然后将)(z在区间],[qp上作定积分5dzdxdyzyxfdzzzDqpqp)),,(()(可以证明，如果被积函数),,(zyxf在上连续，那末所求三重积分就有dzdxdyzyxfdxdydzzyxfzDqp]),,([),,(类似地，空间积分区域还有为y型和x型的，此时都可以把三重积分按先“二重积分”后“单积分”的步骤来计算，这种方法称为坐标投影法或截面法，习惯上称为“先二后一”积分法．例3计算dxdydzz2，其中为椭球体1222222czbyax．解将视为z型空间区域},),(|),,{(czcDyxzyxz其中)(},1|),{(222222qzpczbyaxyxDz，则cczccDdzDzdxdyzdzdxdydzzz)(222这里)(zD为平面区域zD的面积，利用椭圆面积公式，可知)1()1)(1()(222222czabczbczaDz于是得632222154)1(abcdzzczabdxdydzzcc如果把本例中的被积函数改为1，则会得到椭球体的体积为abcdzczabdxdydzdxdydzVccDccxy34122例4计算zdVI，其中由02xzy，绕z轴旋转一周形成的曲面与柱面122yx所围立体解一用坐标面法．曲线绕z轴旋转一周的曲面方程为22yxz该曲面与柱面的交线为122zyxz，在xOy面上的投影区域为xyD：122yx，于是xyxyDDyxdxdyyxdxdyzdzzdVI2220)(21][22再用极坐标有621)(2110420222rdrrddxdyyxIxyD解二用坐标轴投影法．10z，zDyx),(．这里zD为由7122yx和zyx22所围圆环6)(1011022dzzzzdxdydzzdVIyxz小结二重积分的换元积分法三重积分在直角坐标下辖的计算（先二后一法、先一后二法）