2.1椭圆的简单几何性质学案

2.1椭圆的简单几何性质出题人：李秋天陈继波邹玉超【学习目标】1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质奎屯王新敞新疆2．掌握标准方程中cba,,的几何意义，以及ecba,,,的相互关系奎屯王新敞新疆3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法奎屯王新敞新疆【学习重点】：椭圆的几何性质【学习难点】：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质一、自主学习：1．椭圆定义：2．标准方程：3．问题：（1）椭圆曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的yx,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？cba,,的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？4.由椭圆方程12222byax(0ba)研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)(1)范围:从标准方程得出122ax,122by,即有axa,byb，可知椭圆落在byax,组成的矩形中．(2)对称性:把方程中的x换成x方程不变，图象关于y轴对称．y换成y方程不变，图象关于x轴对称．把yx,同时换成yx,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x轴对称，关于y轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称奎屯王新敞新疆原点叫椭圆的，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距奎屯王新敞新疆（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点奎屯王新敞新疆在椭圆12222byax的方程里，令0y得ax，因此椭圆和x轴有两个交点)0,(),0,(2aAaA，它们是椭圆12222byax的顶点奎屯王新敞新疆令0x，得by，因此椭圆和y轴有两个交),0(),,0(2bBbB，它们也是椭圆12222byax的顶点奎屯王新敞新疆因此椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2aAaA，),0(),,0(2bBbB奎屯王新敞新疆加两焦点)0,(),0,(21cFcF共有六个特殊点.21AA叫椭圆的，21BB叫椭圆的．长分别为ba2,2ba,分别为椭圆的和.椭圆的即为椭圆与对称轴的交点.QB2B1A2A1PF2F1P′P″xOy至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称性,顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．(4)离心率:发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同奎屯王新敞新疆这种扁平性质由什么来决定呢？概念：奎屯王新敞新疆定义式：范围：奎屯王新敞新疆考察椭圆形状与e的关系：0,0ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例奎屯王新敞新疆,,1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为圆为椭圆在1e时的特例奎屯王新敞新疆二、合作探究：例1求椭圆400251622yx的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．x012345y先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：B2B1A2A1xOy例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：（1）1162522yx（2）192522yx例3分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：（1）14922yx（2）1364922yx三、课堂练习：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆2．如图，求椭圆12222byax,(0ba)内接正方形ABCD的面积奎屯王新敞新疆五、课堂小结我的收获：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法奎屯王新敞新疆我的困惑FEDCBAB2B1A2A1xOy