2.2.2二次函数的性质与图像教案

1/32.2.2二次函数的性质与图象【学习要求】1.掌握二次函数的概念及性质；2.会求抛物线的对称轴与顶点坐标；3.会用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y＝a(x－h)2＋k的形式，从而会求二次函数的最值．【学法指导】通过探究多个具体的二次函数的图象，感知二次项系数对张口方向和张口大小的影响；通过探究具体的二次函数的图象和性质，归纳出二次函数的图象和性质；在探究二次函数的性质过程中培养分类讨论及数形结合的思想方法.填一填：知识要点、记下疑难点1.函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线．2.一元二次函数的定义：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，其图象是一条抛物线，当a0时，抛物线开口向上，当a0时，抛物线开口向下.|a|越小图象开口就越大，|a|越大图象开口就越小.抛物线的顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)，抛物线的对称轴是直线x＝－b2a.3.一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：当a0时，函数在区间(－∞，－b2a]上是减函数，在[－b2a，＋∞)上是增函数，当x＝－b2a时，ymin＝4ac－b24a；当a0时，函数在区间(－∞，－b2a]上是增函数，在[－b2a，＋∞)上是减函数，当x＝－b2a时，ymax＝4ac－b24a.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在初中我们学习过二次函数，但研究的不够深入．譬如：y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间有什么关系？y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性如何？何时取得最值？这些问题就是我们本节重点研究的问题．探究点一二次函数的概念问题1在初中我们学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？答：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.问题2对于二次函数y＝ax2(a≠0)，观察下面的图象，说出a的变化是如何影响其图象的张口的大小的？答：当a0时，函数y＝ax2(a≠0)的图象张口向上，a越小图象开口就越大，a越大图象开口就越小；当a0时，函数y＝ax2(a≠0)的图象张口向下，|a|越小图象开口就越大，|a|越大图象开口就越小．探究点二二次函数的性质例1试述二次函数f(x)＝12x2＋4x＋6的性质，并作出它的图象．解：(1)配方f(x)＝12(x2＋8x＋12)＝12[(x＋4)2－4]＝12(x＋4)2－2.由于对任意实数x，都有12(x＋4)2≥0，因此f(x)≥－2，当且仅当x＝－4时取等号．这说明该函数当x＝－4时，取得最小值－2，记为ymin＝－2，它的图象的顶点为(－4，－2)．(2)求函数的图象与坐标轴的交点，令y＝0，即12x2＋4x＋6＝0，解此一元二次方程，得x1＝－6，x2＝－2，这说明该函数的图象与x轴相交于两点(－6,0)和(－2,0)，令x＝0，得f(0)＝6，说明函数的图象与y轴的交点是(0,6)．(3)列表描点作图：以x＝－4为中间值，取x的一些值(包括使y＝0的x值)，列出这个函数的对应值表：x…－7－6－5－4－3－2－1…y…520－32－2－32052…在直角坐标系内描点作图(下图)．2/3(4)函数图象的对称轴是x＝－4，因为f(－4－h)＝12(－4－h)2＋4(－4－h)＋6＝12h2－2，f(－4＋h)＝12(－4＋h)2＋4(－4＋h)＋6＝12h2－2，所以f(－4－h)＝f(－4＋h)．这就是说，抛物线f(x)＝12x2＋4x＋6关于直线x＝－4对称．(5)函数的增减性，再观察这个函数的图象，还可以发现，函数在区间(－∞，－4]上是减函数，在区间[－4，＋∞)上是增函数．小结：(1)函数y＝a(x－h)2＋k与函数y＝ax2的图象形状相同，开口方向相同，函数y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴是直线x＝h；顶点坐标为(h，k)．(2)如果一个函数满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，那么函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．跟踪训练1求函数y＝－x2＋2x＋3的最值、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点及函数的单调区间．解：由于y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，由－(x－1)2≤0，得y≤4，当且仅当x＝1时取“＝”，所以当x＝1时，函数有最大值，即ymax＝4.函数图象的顶点坐标为(1,4)，对称轴为x＝1，单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．问题1由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？答：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．问题2由函数y＝ax2的顶点和对称轴分别为(0,0)及y轴，你能得出函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)图象的顶点坐标及对称轴各是什么吗？答：由于y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，所以y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(－h，k)，对称轴为直线x＝－h.问题3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)之间有什么关系？答：y＝ax2＋bx＋c＝ax＋b2a2＋4ac－b24a＝a(x＋h)2＋k，其中，h＝b2a，k＝4ac－b24a.所以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式．小结：二次函数y＝ax2＋bx＋c有如下性质：(1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是－b2a，4ac－b24a，抛物线的对称轴是直线x＝－b2a；(2)当a0时，抛物线张口向上，函数在x＝－b2a处取最小值ymin＝4ac－b24a；在区间－∞，－b2a上是减函数，在－b2a，＋∞上是增函数；(3)当a0时，抛物线张口向下，函数在x＝－b2a处取最大值ymax＝4ac－b24a；在区间－∞，－b2a上是增函数，在－b2a，＋∞上是减函数．例2已知函数y＝ax2＋(a－1)x＋14的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．解：(1)若a＝0，则f(x)＝－x＋14，不合题意，舍去(2)若a≠0，则该函数为二次函数，∴a0Δ0，解得a∈3－52，3＋52.综上可知，a的取值范围为3－52，3＋52.小结：本题要注意分a＝0和a≠0两种情况进行分析．跟踪训练2已知函数f(x)＝12x2－3x－34：(1)求函数图象的顶点坐标、对称轴方程和最值；(2)若x∈[1,4]，求函数的值域．3/3解：(1)对函数右端的表达式配方，得f(x)＝12(x－3)2－214，所以函数图象的顶点坐标为3，－214，对称轴方程为x＝3，最小值为－214.(2)由于3∈[1,4]，所以函数在区间[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数，所以当x＝3时，ymin＝－214，当x＝1时，ymax＝12×4－214＝－134，所以函数的值域为－214，－134.例3求函数y＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值．解对称轴：x＝1，抛物线开口向上．(1)当0a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，∴当x＝0时，ymax＝3；当x＝a时，ymin＝a2－2a＋3.(2)当1a2时，函数在[0,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，∴当x＝1时，ymin＝2；当x＝0时，ymax＝3.(3)当a≥2时，函数在[0,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，∴当x＝1时，ymin＝2，当x＝a时，ymax＝a2－2a＋3.小结：若一元二次函数含参数，求它在一个确定的闭区间的最值问题，要依据对称轴位置是在区间左端点左边，在区间内，还是在区间右端点的右边对参数进行分类讨论．若一元二次函数不含参数，求它在区间端点含有参数的区间内的最值，要分对称轴在区间内和区间外分类讨论，讨论的目的是确定函数在区间上的单调性．跟踪训练3求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最小值．解f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－1－a2，对称轴x＝a.(1)当a0时，函数在[0,2]上是增函数，因此ymin＝f(0)＝－1.(2)当0≤a≤2时，ymin＝f(a)＝－1－a2.(3)当a2时，函数在[0,2]上是减函数，因此ymin＝f(2)＝3－4a.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知一元二次函数y＝－x2＋2x＋4，则函数()A．对称轴为x＝1，最大值为3B．对称轴为x＝－1，最大值为5C．对称轴为x＝1,最大值为5D．对称轴为x＝－1，最小值为3解析：由y＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，知对称轴为x＝1,最大值为5.2.若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是张口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减．3.把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为______________．解析：将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5.课堂小结：1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象为一条抛物线：函数y＝a(x－h)2＋k与函数y＝ax2的图象形状相同，开口方向相同，函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝h；顶点坐标为(h，k)．2.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是将函数y＝ax2的图象先向上或向下平移|k|个单位，再向左或向右平移|h|个单位得到的．(移动规律可以简单记作：左加右减，上加下减)3.二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：(1)当a0时，抛物线的开口向上，xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大，x＝h时，函数有最小值是k.(2)当a0时，抛物线的开口向下，xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小，x＝h时，函数有最大值是k.