2.3数列极限存在的条件

《数学分析》上册教案第二章数列极限1§2.3数列极限存在的条件教学内容：第二章数列极限——§2.3数列极限存在的条件教学目标：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具.教学要求：(1)掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；(2)初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性.教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用.教学难点：相关定理的应用.教学方法：讲练结合.教学过程：引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）.这是极限理论的两基本问题.在实际应用中，解决了数列na极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n充分大时，na能充分接近其极限a，故可用na作为a的近似值.本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断.从收敛数列的有界性可知：若na收敛，则na为有界数列；但反之不一定对，即na有界不足以保证na收敛.例如(1)n.但直观看来，若na有界，又na随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）.为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列.一、单调数列定义若数列na的各项满足不等式11()nnnaaaa，则称na为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．《数学分析》上册教案第二章数列极限2例如：1n为递减数列；2n为递增数列；(1)nn不是单调数列.二、单调有界定理问题（1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列na，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了.此即下面的极限存在的判断方法.定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限.几何解释单调数列}{na只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点na沿数轴移向无穷远；（2）na无限趋于某一个定点A，即)(nAan.证明不妨设}{na单调增加有上界，把}{na看作集合，有确界原理，}sup{na存在即：（1）n，na；（2）0，Nn0使0na,由于}{na单调增加，故当0nn时有0nana即当0nn时||na亦即nnalim.例10a，证明数列aa1，aaa2，aaaa3，……，naaaa，……收敛，并求其极限.证明从该数列的构造，显见它是单调增加的，下面来证它是有界的.易见0aan，且12aaa，23aaa，…，1nnaaa，…,从而12nnaaanaa两端除以na得nnaaa1,n，aanaaan1故}{na有界即得极限存在.《数学分析》上册教案第二章数列极限3设nlimlan，对等式12nnaaa两边取极限，则有)(limlim12nnnnaaaaann1limall22411al,因}{na为正数列，故0l，因此取2411al即为所求极限.例2求nlimnkan（k为一定数，1a）解记ncnkan，则0nc且kknnnannacc)11(1)1(111a，则N，当Nn时1)11(1kna，故Nn后，}{nc单调递减，又有0nc极限一定存在，设为A,由nkncnac)11(11两边取极限得AaA1（1a）0A.例3设).2(,131211nan证明数列{na}收敛.例4.21.0,011nnnxaxxxa求.limnnx(计算a的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有nnnxaxx211}{.nnnxaxax有下界,注意到对,n有,axn有nnnnxaaxaxx.1)(121121221↘，,.limaxnn三、柯西收敛准则(一)引言《数学分析》上册教案第二章数列极限4单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则.(二)Cauchy收敛准则定理（Ｃauchy收敛准则）数列na收敛的充分必要条件是：对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当,nmN时有||nmaa.证明“”}{na收敛，则存在极限，设aannlim，则0，N，当Nn时有2/||aan当Nmn,时有||||||aaaaaanmmn“”先证有界性，取1，则N，Nmn,1||mnaa.特别地，Nn时1||1Nnaa1||||1Nnaa,设}1|||,|,|,||,max{|121NNaaaaM，则n，Man||.再由致密性定理知，}{na有收敛子列}{kna，设aaknklim,0，1N，1,Nmn||/2nmaa,K，Kk2/||aakn,取),max(1NKN，当Nn时有11NnNN2/2/||||||11aaaaaaNNnnnn,故aanklimCauchy列、基本列（满足Cauchy收敛准则的数列）Cauchy收敛准则的另一表示形式：0，N，当Nn时，对P=Z有||nPnaa.(三)说明1、auchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题.《数学分析》上册教案第二章数列极限52、auchy收敛准则的条件称为Ｃauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数.或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.3、auchy准则把N定义中na与a的之差换成na与ma之差.其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.例如数列}{na满足||||11nnnnaaqaa（,3,2n）且10q，证明数列}{na收敛.证明令0||12cxx，||||11nnnnaaqaa211221||||nnnqaaqxx||||||||1211nnpnpnpnpnnpnaaaaaaaa)(132npnpnqqqc)1(11pnqqcqqqcn11.0，（不妨设qc10），取]ln)1ln(1[qcqN，则当Nn时，对任给自然数p有qcqaannpn1||1.故由Cauchy收敛准则知数列}{nx收敛.例证明数列nan1211发散.证明要证：00，对N，必有Nm0，0nN使得0||00nmaa设nm则)(1211112111||nmnnnmnnaanmmnmnmmmm1111，《数学分析》上册教案第二章数列极限6因此，如nm2，则||11/21/2mnaa.这样，对2/10，不管N多大，如取10Nn，002nm则Nm0，0nN且212111||0000mnaanm，这说明}{na不是一个Cauchy数列.（四）应用例5证明:任一无限十进小数)10(.021nbbb的不足近似值所组成的数列,101010,,1010,102212211nnbbbbbb收敛.其中)9,,2,1(ibi是9,,1,0中的数.证明令na,101010221nnbbb有1122111011011109101010pnpnpnnnnnnpnbbbaa1109n.1101)1.0(11011.01)1.0(1nnpnp……例6设.sinsinsin,102nnnqqqqqqxq试证明数列{}nx收敛.关于极限1lim1nnen)71828.2(e的证明留在下节进行.例7.11lim,11limknnknnnn例8.211lim,11lim,1lim3nnnnknnnnnc例9.1232limnnnn作业教材P38—391，3，5，6，10，11；教材P40—411（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.（P383（4）提示：考虑,1nnab用双逼原理可求得,1nb）《数学分析》上册教案第二章数列极限7附数列nn11单调有界证法欣赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（Riemann最先给出这一证法）设.11nnnx应用二项式展开，得nnxn11321!3)2)(1(1!2)1(nnnnnnnnnnnn1!123)1(nnnnnnnn112111!12111!3111!2111，!21111nx121111!31111nnn+)!1(1n;11111nnn注意到,11111nn,12121nn.11111,nnnn且1nx比nx多一项)!1(1n,011111nnn,1nnxx即nx↗.nnnxn)1(132121111!1!31!21110nxnnn.31111111312121111有界.综上,数列{nx}单调有界.评注该证法朴素而稳健,不失大将风度.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式nxnxxn,1(,1)1(为正整数),有nnnnnnxx1111111nnnn11111111nnnnnn12211122,)1(111112nnn由,1)1(12n利用Bernoulli不等式,有《数学分析》上册教案第二章数列极限8.1133233)1(1111232321nnnnnnnnnxxnnnx↗.为证{nx}上方有界,考虑数列.111nnny可类证ny↘.事实上,1nnyy2111111nnnn1111111111nnnn12221221nnnnnnnnnnnnnnnnn2112121121212(此处利用了Bernoulli不等式)nynnnnnn,144