2.5等比数列的前n项和学案(人教A版必修5)

2.5等比数列的前n项和材拓展1．等比数列的判定方法有以下几种(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(3)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列；(4)前n项和法：若Sn＝A(qn－1)，(A≠0，q≠0且q≠1)则{an}是等比数列，其中A＝a11－q.例如：等比数列{an}的前n项和是Sn＝32－n－t，则t的值是________．解析∵{an}是等比数列，∴Sn＝32－n－t＝9·13n－t＝913n－1，∴t＝9.答案92．等比数列的通项公式(1)通项公式an＝a1qn－1(其中a1为等比数列{an}的首项，q为其公比)．(2)等比数列与函数的关系由通项公式an＝a1qn－1，可得an＝a1qqn，当q0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝a1qqx是一个不为零的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数y＝a1qqx的图象上的一些离散点．例如：已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bn0，若a1＝b1，a11＝b11，则a6与b6的大小关系是__________．解析∵bn0，∴b10，q0.点(n，bn)分布在函数y＝b1qqx的图象上．点(n，an)分布在函数y＝dx＋(a1－d)的图象上．当q1时，它们的图象如图1所示；当0q1时，它们的图象如图2所示；其中直线方程是y＝dx＋(a1－d)，曲线方程是y＝b1qqx.直线x＝6与直线y＝dx＋(a1－d)的交点为(6，a6)，与曲线y＝b1q·qx的交点为(6，b6)．无论q1还是0q1都有a6b6.答案a6b63．等比数列的前n项和等比数列前n项和公式为Sn＝na1q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.注意：等比数列前n项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当公比q不确定时，要注意对q分q＝1和q≠1进行讨论．例如：1＋a＋a2＋…＋an－1＝____________________.(其中a≠0)答案n，a＝11－an1－a，a≠14．等比数列的常用性质在等比数列{an}中，(1)对任意的正整数m，n，有an＝amqn－m.(2)对于任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则有am·an＝ap·aq.(3)当a10q1或a100q1时，{an}是递增数列；当a100q1或a10q1时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}为常数列；当q0时，{an}为摆动数列．(4)若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，S(m＋1)k－Smk，…成等比数列(q≠－1或k为奇数)．(5)若Sn表示等比数列的前n项和，公比为q，则有Sm＋n＝Sm＋qmSn.例如：在等比数列{an}中，a5＝7，a8＝56，则通项an＝____________.解析a8＝a5q3，∴q3＝8，q＝2，∴an＝a5qn－5＝7×2n－5.答案7×2n－5法突破一、等比数列的判断与证明方法链接：证明数列是等比数列常用的方法：①定义法：an＋1an＝q(常数)；②等比中项法：a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)；③通项法：an＝a1qn－1(a1q≠0，n∈N*)要证明一个数列不是等比数列，只需证明相邻三项不成等比即可．例如：a1a3≠a22.例1已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．(1)证明假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即23λ－32＝λ49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以{an}不是等比数列．(2)解因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋123an－2n＋14＝－23(－1)n·(an－3n＋21)＝－23bn，又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0，所以bn＋1bn＝－23(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．综上，λ＝－18时，{bn}不是等比数列；λ≠－18时，{bn}是等比数列．二、等比数列基本量运算方法链接：在等比数列{an}的通项公式和前n项和公式中共有五个量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量．例2设数列{an}为等比数列，且a10，它的前n项和为80，且其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560.求此数列的通项公式．分析因为前n项和与2n项和已知，这为建立方程提供了条件，由此可求得首项a1与公比q之间的关系，进而确定an.解设数列的公比为q，由Sn＝80，S2n＝6560，得q≠1，否则S2n＝2Sn.∴a11－qn1－q＝80，①a11－q2n1－q＝6560.②②①，得qn＝81.将qn＝81代入①得，a1＝q－1.③又∵a10，∴q1.∴数列{an}是递增数列．从而，a1qn－1＝54，∴a1qn＝54q，∴81a1＝54q.④③④联立，解得q＝3，a1＝2.∴an＝a1qn－1＝2×3n－1.三、等比数列的性质及应用方法链接：对于等比数列，还有以下的常用结论：(1)如果数列{an}是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列{c·an}仍是等比数列；(2)如果{an}，{bn}是项数相同的等比数列，那么数列{an·bn}，anbn仍是等比数列；(3)在等比数列{an}中，间隔相同的项构成的数列，仍是等比数列．如a1，a4，a7，a10，…；(4)Sn为等比数列{an}的前n项和，一般地：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(q≠－1或n为奇数)；(5)若{an}是公比为q的等比数列，则Sm＋n＝Sn＋qnSm.解等比数列问题时，熟练运用上述性质，进行整体代换，可以简化解题过程，提高解题速度．例3在等比数列{an}中，(1)若q＝12，S99＝77，求a3＋a6＋…＋a99的值；(2)若{an}的前m项和为2，其后2m项和为12，求再后3m项的和．解(1)S99＝(a1＋a4＋…＋a97)＋(a2＋a5＋…＋a98)＋(a3＋a6＋…＋a99)＝1q2＋1q＋1(a3＋a6＋…＋a99)＝7(a3＋a6＋…＋a99)＝77∴a3＋a6＋…＋a99＝11.(2)涉及{an}的前6m项，把每m项之和依次记作：A1，A2，A3，A4，A5，A6，则它们成等比数列公比记作q.且A1＝2，A2＋A3＝12，∴A2＋A3＝2q＋2q2＝12，∴q＝2或q＝－3.当q＝2时，A4＋A5＋A6＝A1(q3＋q4＋q5)＝2×(23＋24＋25)＝112；当q＝－3时，A4＋A5＋A6＝A1(q3＋q4＋q5)＝2×[(－3)3＋(－3)4＋(－3)5]＝－378.∴后3m项的和为112和－378.四、错位相减求前n项和方法链接：等比数列{an}的前n项和公式的推导方法即错位相减法是很重要的方法，必须熟练掌握．该法主要应用于已知数列求和中，各项的组成是等差数列和等比数列对应项乘积构成的新数列的求和问题．例4设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，a1也满足上式．故{an}的通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，公差d＝4的等差数列．设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴q＝14.故bn＝b1qn－1＝2×14n－1，即{bn}的通项公式为bn＝24n－1.(2)∵cn＝anbn＝4n－224n－1＝(2n－1)4n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1，4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n.两式相减得3Tn＝－1－2×(4＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝13[(6n－5)4n＋5]，∴Tn＝19[(6n－5)4n＋5]．五、等差中项与等比中项的运用方法链接：一个等比数列，除可以按定义设为a1，a1q，a1q2，…之外，若已知连续三项，常可设为aq，a，aq，然后应用等差中项或等比中项建立方程求解．例5互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．解设三个数为aq，a，aq，∴a3＝－8，即a＝－2，∴三个数为－2q，－2，－2q.(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2q＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，q＝1，与已知矛盾；(2)若－2q为－2q与－2的等差中项，则1q＋1＝2q，2q2－q－1＝0，q＝－12或q＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q为－2q与－2的等差中项，则q＋1＝2q，∴q2＋q－2＝0，∴q＝－2或q＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.六、等差数列与等比数列的公共项问题方法链接：1.一般地，两个等差数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等差数列．公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数．2．一般地，一个等差数列与一个等比数列若存在公共项，则它们的公共项按原来的顺序构成一个新的等比数列．例6设An为数列{an}的前n项和，An＝32(an－1)(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝4n＋3(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{an}、{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1(n∈N*)．(1)解由已知An＝32(an－1)(n∈N*)．当n＝1时，a1＝32(a1－1)，解得a1＝3.当n≥2时，an＝An－An－1＝32(an－an－1)，由此解得an＝3an－1，即anan－1＝3(n≥2)．所以数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，故an＝3n(n∈N*)．(2)证明由计算可知a1，a2不是数列{bn}中的项．因为a3＝27＝4×6＋3，所以d1＝27是数列{bn}中的第6项．设ak＝3k是数列{bn}中的第m项，则3k＝4m＋3(k，m∈N*)，因为ak＋1＝3k＋1＝3·3k＝3(4m＋3)＝4(3m＋2)＋1，所以ak＋1不是数列{bn}中的项．而ak＋2＝3k＋2＝9·3k＝9(4m＋3)＝4(9m＋6)＋3，所以ak＋2是数列{bn}中的项．由以上讨论可知d1＝a3，d2＝a5，d3＝a7，…，dn＝a2n＋1.所以数列{dn}的通项公式是dn＝a2n＋1＝32n＋1(n∈N*)．区突破1．求和时项数不清而致错例1求1＋2＋22＋…＋2n的和．[错解]1＋2＋22＋…＋2n＝1－2n1－2＝2n－1.[点拨]错因在于没有搞清项数，首项为1＝20，末项为2n，项数应为n＋1项．[正解]这是一个首项为1，公比为2的等比数列前n＋1项的和，所以，1＋2＋22＋…＋2n＝1－2n＋11－2＝2n＋1－1