20.2012届江苏高考数学二轮复习教学案(详解)--分类讨论思想

凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]第18讲分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1)所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3)对多级讨论，应逐级进行，不能越级．讨论的基本步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2)确定分类的标准，进行合理的分类；(3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4)总结概括，得出结论．引起分类讨论的常见因素：(1)由概念引起的分类讨论；(2)使用数学性质、定理和公式时，其限制条件不确定引起的分类讨论；(3)由数学运算引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论；(5)对于含参数的问题由参数的变化引起的分类讨论．简化和避免分类讨论的优化策略：(1)直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2)变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3)合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4)数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．注：能回避分类讨论的尽可能回避．1.一条直线过点(5,2)且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为________．2.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.3.函数f(x)＝ax2－aa＋1x＋12a＋1的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是________．4.数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋n－1(n∈N*)，则其通项an＝________.【例1】在△ABC中，已知sinB＝154，a＝6，b＝8，求边c的长．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]【例2】解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋10(a∈R)．【例3】设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2，…)．(1)求q的取值范围；(2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.【例4】已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]1.(2009·全国)双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．2.(2011·辽宁)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．3.(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．4.(2010·福建)函数f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0，的零点个数为________．5.(2011·江西)设f(x)＝13x3＋mx2＋nx.(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；(2)如果m＋n10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)6.(2010·江苏)设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．设函数f(x)＝lnx＋b＋2x＋1(x1)，其中b为实数．(1)求证：函数f(x)具有性质P(b);(2)求函数f(x)的单调区间．(2011·南通)(本小题满分16分)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c,2Sn＝anan＋1＋r.(1)若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．(2)设Pn＝a1a1－a2＋a3a3－a4＋…＋a2n－1a2n－1－a2n，Qn＝a2a2－a3＋a4a4－a5＋…＋a2na2n－a2n＋1，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式－nPn－Qnn2＋n恒成立．凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail](1)解：n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，a2＝2－rc.(1分)n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①2Sn－1＝an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2.(3分)则a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1.即2－rc－c＝1，r＝c－c2.(4分)∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，得c＝－2或3.∵当c＝－2时，a3＝0不合题意，舍去．∴当且仅当c＝3时，数列{an}为等差数列.(5分)(2)证明：a2n－1－a2n＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝c＋rc－2.a2n－a2n＋1＝[a2＋2(n－1)]－(a1＋2n)＝a2－a1－2＝－c＋rc.(8分)∴Pn＝1c＋rc－2na1＋nn－12×2＝1c＋rc－2n(n＋c－1)(9分)Qn＝－1c＋rcna2＋nn－12×2＝－1c＋rcnn＋1－rc.(10分)Pn－Qn＝1c＋rc－2n(n＋c－1)＋1c＋rcnn＋1－rc＝1c＋rc－2＋1c＋rcn2＋c－1c＋rc－2＋1－rcc＋rcn.(11分)∵r＞c＞4，∴c＋rc≥2r＞4，∴c＋rc－2＞2，∴0＜1c＋rc－2＋1c＋rc12＋14＝34＜1.(13分)且c－1c＋rc－2＋1－rcc＋rc＝c－1c＋rc－2＋c＋1c＋rc－1＞－1.(14分)又∵r＞c＞4，∴rc1，则0＜c－1c＋rc－2,0c＋1c＋rc.∴c－1c＋rc－2＜1，c＋1c＋rc1.∴c－1c＋rc－2＋c＋1c＋rc－1＜1.(15分)∴对于一切n∈N*，不等式－nPn－Qnn2＋n恒成立．(16分)凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]专题七数学思想方法第18讲分类讨论思想1.已知函数f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，则f(x)的值域是____________．【答案】－1，22解析：f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|＝cosxsinx≥cosx，sinxsinx＜cosx，f(x)∈－1，22.2.(2011·徐州三模)设函数f(x)＝x2－alnx与g(x)＝1ax－x的图象分别交直线x＝1于点A、B，且曲线y＝f(x)在点A处的切线与曲线y＝g(x)在点B处的切线平行．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)当a1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值；(3)当a1时，不等式f(x)≥mg(x)在x∈14，12上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)由f(x)＝x2－alnx，得f′(x)＝2x－ax，由g(x)＝1ax－x，得g′(x)＝1a－12x.又由题意得f′(1)＝g′(1)，即2－a＝1a－1，故a＝2或a＝12.当a＝2时，f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝12x－x，当a＝12时，f(x)＝x2－12lnx，g(x)＝2x－x.(2)当a1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2lnx－12x＋x，得h′(x)＝2x－2x－12＋12x＝2x－1x＋1x－x－12x＝(x－1)4xx＋x＋x＋1－x2x.由x0，得4xx＋x＋x＋1－x2x0.故当x∈(0,1)时，h′(x)0，h(x)递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，h(x)递增．所以h(x)的最小值为h(1)＝1－2ln1－12＋1＝32.(3)a＝12时，f(x)＝x2－12lnx，g(x)＝2x－x.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]当x∈14，12时，f′(x)＝2x－12x＝4x2－12x0，f(x)在14，12上为减函数，f(x)≥f12＝14＋12ln2.当x∈14，12时，g′(x)＝2－12x＝4x－12x0，g(x)在14，12上为增函数，且g(x)≤g12＝1－22，且g(x)≥g14＝0，要使不等式f(x)≥mg(x)在x∈14，12上恒成立，当x＝14时，m为任意实数，当x∈14，12时，m≤fxgx，而fxgxmin＝f12g12＝2＋24ln(4e)，所以m≤2＋24ln(4e)．3.设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1)若f(0)≥1，则－a|a|≥a＜0，a2≥1≤－1.(2)当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，f(x)min＝fa，a≥0，fa3，a＜0＝2a2，a≥0，2a23，a＜0.当x≤a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，f(x)min＝f－a，a≥0，fa，a＜0＝－2a2，a≥0，2a2，a＜0.综上可得f(x)min＝－2a2，a≥0，2a23，a＜0.(3)x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2.当a≤－62或a≥62时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)；当－62＜a＜62时，Δ0，得：x－a－3－2a23x－a＋3－2a23≥0，x＞a.凤凰出版传媒集团版权所有网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：[phone]Mail：[e-mail]讨论得：当a∈22，62时，解集为(a，＋∞)；当a∈－62，－22时，解集为a，a－3