2000年高考数学试题及答案(上海理)

2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1．已知向量OA(－1，2)、OB=(3，m)，若OA┴OB，则m=。2．函数，xxy312log2的定义域为。3．圆锥曲线tgyx31sec4的焦点坐标是。4．计算：nnn)2(lim=。5．已知bxfx2)(的反函数为)(),(11xfyxf若的图象经过点)2,5(Q，则b=。6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需年。（按：1999年本市常住人口总数约1300）7．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥。8．设函数)(xfy是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上)(xf=。9．在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数为，（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是。11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线BA,cos4于两点，则AB。12．在等差数列na中，若0za，则有等式),19(192121Nnnaaaaaann成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列nb中，若10b，则有等式成立。二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13．复数的三角形式是是虚数单位))(5sin5(cos3iiz).56sin56(cos3)(),54sin54(cos3)().5sin5(cos3)()],5sin()5[cos(3)(iDiCiBiA[答]（）14．设有不同的直线a、b和不同的平面a、、，给出下列三个命题：（1）若aa//，ab//，则ba//。（2）若aa//，//a，则//a。（3）若a,，则//a。其中正确的个数是（A）0．（B）1．（C）2．（D）3．[答]（）15．若集合TsRxxyyTRxyySx则.,1|..3|2是：(D)(C)T.(B)S.)(有限集A.[答]（）16．下列命题中正确的命题是（A）若点)0)(2,(aaaP为角a终边上一点，则552sina。（B）同时满足23cos,21sinaa的角a有且只有一个。（C）当1a时，)(arcsinatg的值恒正。（D）三角方程3)3(xtg的解集为Zkkxx,|。[答]（）三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17．（本题满分12分）已知椭圆C的焦点分别为)0,22()0,22(21FF和，长轴长为6，设直2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。[解]18．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为1010arccos，求四面体ABCD的体积。[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数],1[,2)(2xxaxxxf。（1）当21a时，求函数)(xf的最小值：（2）若对任意0)(],,1[xfx恒成立，试求实数a的取值范围。[解]（1）[解]（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。根据指令),(r)180180,0(r，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转，为负时，按顺时针方向旋转－），再朝其面对的方向沿直线行走距离r。（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。[解]（1）[解]（2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。在XOY平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111nnnbaPbaPbaP对每个自然数n，点P，位于函数)100()10(20002aay的图象上，且点nP，点)0.1()0,(nn与点构成一个以nP为顶点的等腰三角形。（1）求点nP的纵坐标nb的表达式。（2）若对每个自然数n，以nb，21,nnbb为边长能构成一个三角形，求a取值范围。（3）设.21NnbbbBnn，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列nB的最大项的项数。[解]（1）[解]（2）[解]（3）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知复数yxyxiyxwyixzmmiz,,,,),0(10其中和均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数||2||,,0zwzzwz有。（1）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式；（2）将(x、y)作为点P的坐标，(x、y)作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线1xy上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。[解]（1）[解]（2）[解]（3）2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。3．第17至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。解答一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。1．4．2．)3,21(3．(－4，0)，(6，0)。4．2e。5．1．6．9．7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……8．X．9．－462。10．14111．3212．),17(172121Nnnbbbbbbnn二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。题号13141516代号CAAD三、（第17题至第22题）17．[解]设椭圆C的方程为)(212222分byax由题意1,22,3bca于是)(41922分的方程为椭圆yxC,0273610192222xxyxxy得由因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点，…（8分）设)(12)51,59(,518),,(),,(212211分的中点坐标为故线段则设ABxxyxByxA18．[解法一]如图建立空间直角坐标系…（2分）由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z))0(z，则)10(,4,4,10142cos,1010arccos,2cos42,BE)(6,,2,0,0,1,1222分的长度是故得所成的角的大小为与且则所成的角为与设分BDzzBEADzBEADADzADBE又)(4,38,61分的体积是因此四面体ABCDBDBCABVABCD[解法二]过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，∠DAF是异面直线BE与AD所成的角，∴∠DAF=1010arccos…（4分）∵E是AC的中点，∴B是CF的中点，AF=2BE=22。…（6分）又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。∴DF=DA。…（8分）三角形ADF是等腰三角形，20cos12DAFAFAD，故422ABADBD，…（10分）又BDBCABVABCD61，因此四面体ABCD的体积是38，…（12分）19．[解]（1）当221)(,21xxxfa时，)(xf在区间),1(上为增函数，…（3分）)(xf地区间),1(上最小值为27)1(f，…（6分）（2）[解法一]在区让),1(上，0202)(22axxxaxxxf恒成立恒成立，…（8分）设),1(,22xaxxy，1)1(222axaxxy递增，∴当1x时，ay3min，…（12分）于是当且仅当03minay时，函数0)(xf恒成立，故3a。…（14分）（2）[解法二]],1[,2)(xxaxxf，当0a时，函数)(xf的值恒为正，…（8分）当0a时，函数)(xf递增，故当axfx3)(,1min时，…（12分）于是当且仅当03)(minaxf时，函数0)(xf恒成立，故3a。…（14分）20．[解]（1）45,24r，得指令为45),24(，…（4分）（2）设机器人最快在点)0,(xP处截住小球…（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有22)40()4(|17|xxx，…（8分）。即01611232xx，得323x或7x，∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7x，故机器人最快可在点)0,7(P处截住小球，（10分）所给的指令为)13.98,5(，（14分）21．[解]（1）由题意，21nan，∴21)10(2000nnab，…（4分）[解]（2）∵函数)100()10(2000aayn递减，∴对每个自然数n，有21nnnbbb，则以21,,nnnbbb为边长能构成一个三角形的充要条件是nnnbbb12，即01)10()10(2aa…（7分）解得)51(5a或)15(5a∴10)15(5a，…（10分）[解]（3）∴10)15(5a∴7a21)107(2000nnb…（12分）数列nb是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2nnnBbBn，于是当1nb时，1nnBB，当1nb时，1nnBB，因此，数列nB的最大项的项数n满足不等式1nb且11nb。)16(20,8.20,1)107(200021分得由nnbnn22．[解]（1）由题设，2,2000zzzzzzw，于是由3,0,412mmm得且，…（3分）因此由iyxyxyixiiyx)3(3)()31(，