85数学模型-层次分析法的若干问题

1数学模型中南大学数学科学学院应用数学与应用软件系29.3层次分析法的若干问题层次分析法问世几十年来不仅得到广泛的应用，而且在理论体系、计算方法以及建立更复杂的层次结构等方面都有着很快的发展。本节将着重从应用的角度分析几个问题。1、正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵。在层次分析中用对应它的最大特征根的特征向量最为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验。3这里人们首先碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就变为一致阵。下面两个定理可以回答这些问题。定理1对于正矩阵A(A的所有元素为正数），1）A得最大特征根是正单根λ；2）λ对应正特征向量w（w得所有分量为正数）；3）eAeeAkTkklim4其中e=(1,1,…，1）T,w是对应λ的归一化特征向量。定理1）、2）是著名的Perron（1907）定理的一部分，3）可以通过将A化为表征证明。定理2）n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n;当λ=n时A是一致阵。[证明]设A的对应于λ的特征向量为w=(w1,w2,…，wn),由定理1，λn,w0.不妨将A的元素aij记做njiwwaijjiij,,2,1,,（1）5由A的正互反性，ijjiij/1,0（2）根据特征根和特征向量的定义niwawnjjiji,,2,1,1（3）将（1）代入（3）并对i求和得njijnin111（4）6利用（2）式并注意到εij=1，（4）式可化为1)1(1111nijijijnin（5）因为恒有21ijij（6）而（5）式中Σ和号内共项，所以（5）、（6）给出2)1(nn2n（7）7此即定理的第1部分。当λ=n时由（5）、（6）式可知必有21ijij（8）于是，由（1）知1ijjiijwwa满足一致阵条件（9.1节（4）式），A是一致阵。8定理2和9.1节所述的一致阵的性质表明，n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为，A的最大特征根λ=n。上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的理论根据。92、正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法。众所周知，利用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高的时候。另一方面，因为成对比较阵基本上是定义比较的量化结果，对它做精确计算是不必要的、，所以完全可以用简便的近似算法计算特征值和特征向量，下面介绍几种。10（1）幂法步骤如下a.任取n维归一化初始向量w(0)b.计算c.归一化，即令d.对于预先给定的精度ε，当|wi(k+1)-wik|ε(i=1,2,…，n),w(k+1)即为所求的特征向量；否则返回b.,2,1,0),(~)1(kkawwk)1(~kwnikikwwkw1)1()1(~~)1(11e.计算最大特征根11)()1(~1nikikiwwn这是求最大特征根对应特征向量的迭代法，其收敛性由定理1的3）保证。w(0)可任取或取为下面方法得到的结果。12（2）和法步骤如下a.将A的每一列向量归一化得b.将按行求和得c.将归一化nijiijijaaw1/~ijw~njijiww1~~iw~Tnniiii),,(,~/~~21113即为近似特征向量。d.计算，作为最大特征根的近似值。这个方法实际上是将A的列向量归一化后取平均值，作为A的特征向量。因为当A为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不严重，则取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。niiiwAwn1)(114（3）根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b该为b/.对按行求积并开n次方ijw~nijnjijww/11)(~根法是将和法中求列向量的算术平均值该为求几何平均值。以上3个方法中以和法最简单。用它计算一个例子1514/16/1412/1621A091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0类向量归一化268.0972.0760.1按行求和,089.0324.0587.0w归一化268.0974.0587.0Aw0098.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31精确计算给出w=（0.588，0.322，0.090）T,λ=3.010.二者相比，相差甚微。163、为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量我们知道，当成对比较阵A是一致阵时，aij与权向量w=(w1,…,wn)T得关系满足，那么当A不是一致阵时候，权向量w的选择应使得aij与相差（对所有的i,j)尽量小。这样，如果从拟合的角度看，确定w可以化为如下的最小二乘问题：jiijwwajiwwninjjjini),,1()(min（9）17由（9）式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同。但是因为（9）式将导致求解关于w1的非线性方程组，计算复杂，没有有实用价值。如果改为对数最小二乘法ninjjjini),,1()ln(lnmin（10）则化为求解关于lnw1的线性方程组。可以验证，如此解的w1恰是前面根法计算的结果。18特征根法解决这个问题的途径可由定理2的证明过程看出，若用（1）式给出的个方程由aij确定wi,εij共个未知数（i=1,…，n,ij),需要增加n个限制条件。若这n个条件为2)1(nn2)1(nnninjji,,2,1,1（11）则经（4）式推出（3）式，w恰为特征向量，（11）式的含义请读者解释（对比A为一致阵的情况）。由上可知，用不同标准确定的权向量是不同的。（当然，若A为一致阵，则用所有标准确定权向量相同）。那么，相对其他方法特征根法有什么优越性呢？19比较C1,C2,…,Cnn各因素对上层某因素的影响时，aij是Ci对Cj(直接比较）的强度，不妨称为1步强度。若记A2=(aij(2)),则不难得到，即aij(2)是Ci通过Cs(s=1,2,…，n)对Cj比较强度之和，称为2步强度，它已包含了1步强度aij（因为和式中包括s=i,j).显然aij(2)比aij更能反映Ci对Cj的强度。类似地，记Ak=(aij(k)),aij(k)是k步强度，它包含了1步至k-1步强度。K越大，aij(k)越能前面反映Ci对Cj的强度。可以认为aij(k)体现了相互比较的多步累积效应。更进一步证明，对于正互反阵A和每一对(i,j),存在k0，当kk0时ais(k)≥ajs(k)或ais(k)≥ajs(k)对所有ｓ（０≥ｓ≥１）成立。nssjisijaaa1)2(20这表明对于足够大的ｋ，Ａｋ的第i行元素给出Ci在全部因素中排序权重的信息。可以用这行元素之和作为Ci的权重的度量，即以e=(1,1,…，1）T)为诸因素的权向量，其中分母是归一化的需要。回顾本节定理1的3），当k∞时这个权向量正是A的特征向量w，即eAeeAkTkeAeeAwkTkklim（12）21由（12）式用级数理论还不难证明eAeeAmwkTkmkm11lim（13）以上分析表明，无论从全面反映因素强度对比的多步累积桥应意义上（（12）式），还是从各个多步积累效应的平均的意义上((13))，用特征向量作为权向量，由于从其他方法得到的权向量。224、不完全层次结构中组合权向量的计算在前两节列举的大多数层次结构模型中，上一层的每一个因素都支配着下一层的所有因素，或者被下一层所有因素影响，如图9-1，9-2，9-4~9-6,这种层次结构称为完全的。但是也有层次结构不是这样的，如图9-3，第二层中的准则C1支配第三层的3个指标C11,C12，C13(或者说有3个指标从属于C1)，而C2支配另外4个指标，C3不再划分指标，可以视为第3层的指标就是准则C3自己，即C31=C3，这种层次结构称为不完全的。23不完全的层次机构会出现在不少评价、决策问题中，如学校要评价教师的贡献，粗略地只考虑教学与科研两个指标，若P1,P2,P3,P44位老师中P1,P2只从事教学，P4只搞科研，P3二者兼顾，那么层次结构模型如图9-7。C1,C2支配因素的数目不等。教师贡献教学C1科研C2P1P2P3P4图9-7评价教师贡献的层次结构24在不完全层次结构组合权向量的计算中，是否应考虑以及怎样考虑支配因素数不等的影响。为了避免叙述上的繁琐，我们具体设第2层有2个因素C1，C2,它们对第1层的权向量w(2)=(w1(2),w1(2))已经确定，第3层的因素P1,P2,P3,P4受C1支配，记n1=3.P3,P4受C2支配，记n2=2.两个权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T和w1(3)=(0,0,w23(3),w24(3))T也已分别从成对比较阵算出。因为第3层共4个因素，所以w1(3),w2(3)都应是四维向量，当某一因素不受C1或C2支配时，权向量的相应分量为零。下面讨论由w(2)和W(3)=(w1(3),w2(3))计算第3层对第1层的组合权向量w(3)的方法。25（1）不考虑支配因素数目不等的影响，像完全层次机构计算一样，用9.1式（8）式，即w(3)=W(3)w(2)(14)这种方法适合像图9-3科技评价那样的问题，其第3层指标分别属于第2层的每一准则，所以每个指标对目标的组合权重，应该等于它对所属准则的权重乘以这个准则对目标的权重，这正是（14）式所表示的。26（2）支配因素越多相对权重越大。用支配以俗的数目对权向量w(2)进行加权，修正，再计算w(3),仍用前面的记号，有)2(~w1)2(22)2()2(22)2()2()(),(~1111wnwnwnwnwT（15）（16）)2()3()3(~其中（15）式右端后面的因子是归一化的需要27在图9-7所示的极少贡献的评比中，如果教师从事教学或科研完全由上级安排，那么若不考虑教学与科研的人数，则在评价时搞教学的老师（人数较多）将吃亏。譬如教学与科研两个准则的重要性相同，即w(2)=(1/2,1/2)T,4位老师不论从事教学或科研，能力都相同，即w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T.公正的评价应是，被安排只搞教学或科研的P1,P2,P4的贡献相同，而P3的贡献为他们的一倍。但是按（14）式得到的是w(3)=(1/6，1/6，5/12，1/4)T.用（15）、（15）式才会得到合理的结果w(3)=(1/5，1/5，2/5，1/5)T。28（3）支配因素越多项对权重越小。用支配因素的倒数对w(2)加权，（15）式变为12)2(21)2(12)2(21)2(1)2()(),(~nwnwnwnwwT（17）如果教师从事教学和科研完全靠发挥个人的积极性那么可以考虑这种评价模式，以鼓励从事人数较少的那一类工作（如图9-7中n2n1)得老师。29则第p层对第1层的组合一致性比率为CR(p)=CR(p-1)+CI(p)/RI(p),p=3,4,…，s(13)其中CR(2)为由（7）式计算的一致性比率。最后，当最下层对最上层的组合一致性比率CR(s)0.1(14)认为整个层次的比较判断通过一致性检验。在旅游决策问题中可以算出CI(3)=0.00176，RI(3)=0.58,前面已经有了CR(2)=0.016,于是由（13）得到305。递阶层次结构和更复杂的层次结构以上讨论的所有层次结构模型有两个特点，一是模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次，层次累不因素之间不存在相互影响或支配的作用，或者这种影响可以忽略；二是层次之间存在自上而下、逐层传递的支配关系，没有下层对上层的反馈作用，或者层之间