2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题参考答案

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题彩票中的数学参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？具体地讲，问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样？另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。1.模型假设与符号说明彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的；彩民购买彩票是随机的独立事件；对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T=35年。jr---第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，3,2,1j；ix----第i等奖奖金额均值，71i；ip----彩民中第i等奖ix的概率，71i；)(ix----彩民对某个方案第i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力，71i；----某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数；F----彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；2.模型的准备（1）彩民获各项奖的概率从已给的29种方案可知，可将其分为四类,1K:10选6+1（6+1/10）型、2K:n选m)/(nm型、3K:n选1m)/1(nm型和4K:n选m)/(nm无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：1K：10选6+1（6+1/10）型7611021051p，7621081054p，56193101.8102Cp461919110194102.61102CCCCp,361101919110110195103.421022CCCCCCp261919191101101919110110110196104.199510)23(32CCCCCCCCCCCp2K：n选m)/(nm型mnCp11，mnmmCCp12，mnmnmmCCCp1)1(13，mnmnmmCCCp1)1(24，mnmnmmCCCp2)1(25，mnmnmmCCCp2)1(36，mnmnmmCCCp3)1(37。3K：n选1m)/1(nm型111mnCp，11)1(2mnmnCCp，11)1(13mnmnmmCCCp，12)1(14mnmnmmCCCp，12)1(25mnmnmmCCCp，13)1(26mnmnmmCCCp，13)1(37mnmnmmCCCp。4K：n选m)/(nm无特别号型mnCp11，mnmnmmCCCp112，mnmnmmCCCp223，mnmnmmCCCp334，mnmnmmCCCp445。各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率iipP计算如表一。表一：方案1p2p3p4p5p6p7piipP6+1/102×10-78×10-71.8×10-52.61×10-43.42×10-34.1995×10-2-----0.0456957/296.40705×10-74.48494×10-69.4184×10-52.8255×10-42.8255×10-34.7092×10-30.0298250.0377426+1/296.40705×10-71.4096×10-58.4573×10-58.8880×10-42.2200×10-31.4800×10-20.0197340.0377427/304.91207×10-73.43845×10-67.5646×10-52.2694×10-42.3828×10-33.9714×10-30.0264760.0331377/313.80290×10-72.66203×10-66.1227×10-51.8368×10-42.0205×10-33.3675×10-30.0235720.0292087/322.97101×10-72.07971×10-64.09913×10-51.4974×10-41.722×10-32.8700×10-30.0210470.0258327/332.34080×10-71.63856×10-64.0964×10-51.2289×10-41.4747×10-32.4578×10-30.0188430.0229417/341.85887×10-71.30121×10-63.3831×10-51.0149×10-41.2687×10-32.1145×10-30.0169160.0204367/351.48709×10-71.04097×10-62.8106×10-58.4318×10-51.0961×10-31.8269×10-30.0152240.0182617/361.19794×10-78.38556×10-72.3480×10-57.0439×10-59.5092×10-41.5849×10-30.0137360.0163676+1/361.19794×10-73.47402×10-62.0844×10-52.9182×10-47.2954×10-46.5659×10-30.0087550.0163677/379.71301×10-86.79911×10-71.9717×10-55.9152×10-58.2813×10-41.3802×10-30.0124220.0147106/402.6053×10-71.5632×10-65.1584×10-51.2896×10-42.0634×10-32.7512×10-30.0284280.0334255/601.831×10-79.155×10-74.9437×10-59.8874×10-52.6202×10-32.6202×10-30.0454160.050806（2）确定彩民的心理曲线一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为)0(1)(2xex其中表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。（3）计算实力因子实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应有一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此，我们以中等地区的收入水平（或全国平均水平）为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当5.520x万元时，取5.01)(200xex（即吸引力的中位数），则有551030589.65.0ln1025.5。同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子如表二。表二：年收入指标1万元1.5万元2万元2.5万元3万元4万元5万元10万元420393630589840786105098212611791681571210196442039283．模型的建立与求解问题（一）要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民购买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响，可取)0(1)(2xex为风险决策的益损函数，于是作出如下的指标函数：71)(iiixpF（1）即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为74iiixpL，根据高项奖的计算公式得单注可能的第j项（高项奖）奖金额为jiiijjjrxprLxp741)1(，3,2,1j故平均值为3,2,1,174jprxpxjjiiij（2）于是由（1），（2）式得574711030589.67,,2,1,1)(3,2,1,1)(2iexjprxpxxpFixijjiiijiii（3）利用Matlab可计算出29种方案的合理性指标值F及高项奖的期望值，排在前三位的如下表三。表三：指标方案F1x2x3x排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117/313.784×10-71.704×106324482116257/293.637×10-77.557×1053598417143问题(二)根据问题（一）的讨论，现在的问题是取什么样的方案m/n（n和m取何值）、设置哪些奖项、高项奖的比例)3,2,1(jrj为多少和低项奖的奖金额)7,6,5,4(ixi为多少时，使目标函数71)(iiixpF有最大值。设以m，n，)3,2,1(jrj，)7,6,5,4(ixi为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型：max71)(iiixpF为正整数nmxrnmippibxxaxrrrriexjprxpxtsijiiiiiixijjiiiji,;0,0)9(6029)8(75)7(6,,2,1,)6(6,,2,1,)5(105106)4(8.05.0)3(1)2(1030589.6),7,,2,1(1)()1(3,2,1,1..1161513215742关于约束条件的说明：1）条件（1）（2）同问题（一）；2）条件（3）（4）是对高项奖的比例约束，1r的值不能太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的；3）条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的；4）条件（6）中的)6,,2,1(,ibaii分别为i等奖的奖金额ix比1i等奖的奖金额1ix高的倍数，可由问题（一）的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：10,2;10,2;20,4;17,3;54,4;233,10665544332211babababababa5）条件（7）是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率ip应小于低等奖的概率1ip，它的值主要有nm,确定。6）条件（8）（9）是对方案中nm,取值范围的约束，是由已知的方案确定的；这是一个较复杂的非线性（整数）规划，其中概率ip的取值分为四种不同的情况4321,,,KKKK，者有整数变量nm,确定，一般的求解是困难的。为此，利用Matlab可求解得最优解为}0,1,10,200,11.0,09.0,8.0,32,6,{2K，最优值为7108399.6F。故对应的最优方案为：32选6（6/32），一、二、三等奖的比例分别为80%、9%、11%，四、五、六、七等奖的金额分别为200、10、1、0元。