6函数单调性习题课

函数单调性习题课1.复习单调性的定义:注:①所有的单调性,必须在定义域内来谈.②单调性必须指明区间。③目前函数单调性的证明只能用定义来证明。④函数单调性描述的是图像的变化趋势。1.增函数、减函数的定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2①当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)在该区间上是增函数。②当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)在该区间上是减函数。2.函数单调区间的求法：方法：①图象法②定义法例1（1）如果函数f(x)=2x2-mx-3当x∈[-2,+∞)时是增函数，当x∈（-∞,-2)时是减函数，则f(1)=()A.-3B.13C.7D.由m而定的常数C(2)如果函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1]上为减函数.则()A.a=-2B.a=2C.a≤-2D.a≥2C例2若函数y=|x-3|,试求出它的单调区间.解:画图-3xoyxyo-33y=|x-3|3y=|x-3|的单调增区间为),[3y=|x-3|的单调减区间为),(3练习:1.若函数f(x+1)=x2-2x+1,试求f(x)的单调区间.2.若函数f(x)=|2x-4|,试求f(x)的单调区间..的单调区间。其中）求函数（例]),((4524513xxxy例3.（2）试求的单调区间2x4x5y150245xxx）为减函数在）为增函数；，在（又,[22245xxt][122-5-245，）单调减区间为，（单调增区间为xxy练习:试求的单调区间.82xxy2例4.求函数的单调区间.0)(xx1xy解:设x1x2∈(0,∞))xx1)(1x(x)f(x)f(x)xx1)(1x(xxxxx)x(xx1xx1x)f(x)f(x1212121212212112112212∵0x1x2∴x2-x10∴f(x2)-f(x1)的正负由x1x2-1来决定.又∵0x1x2∴x1·x2x2·x2=x22∴x22-10时,f(x2)-f(x1)0即x1x21时f(x2)f(x1)∴f(x)在（0，1）为减函数∴x21-10时f(x)=x+1/x为增函数即1x1x2时f(x)=x+1/x.]()()(），单调增区间为（，单调减区间为11001xxxxf3.函数单调性的证明：证明方法：单调性的定义步骤：①设值②作差③判定正负④结论例4证明函数f(x)=x3+1在（－∞，+∞）上是增函数。证明：设x1x2∈（－∞，+∞）f(x2)-f(x1)=x23+1-(x13+1)=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+1/2x1)2+3/4x12]∵x1x2∴x1-x20(x2+1/2x1)2+3/4x120∴f(x2)-f(x1)0∴x1x2时f(x1)f(x2)∴f(x)=x3+1在（－∞，+∞）上是增函数例5证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间上是增函数.]2,(abcbxaxxfcbxaxxfabxx22211121222)()(],(证明：设])()[()()(bxxaxxxfxf212121)(;020212121aabxxabxxxx02121bbbxxabxxa)()(021bxxa)(021xx例6讨论函数f(x)=k/x在（0，+∞）上的单调性。（k≠0）解：设0x1x2∈(0,+∞)0)f(x)0时，f(x当k0x0，xxxxx0xx)xk(xxkxk)f(x)f(x2121122121122121.上是增函数)(0.在xkf(x))f(x)f(x时xx0)f(x)f(x,时0k当.减函数上)(0.在xkf(x)212121为取值范围。求）且上的增函数，，的定义域为：已知函数例xxfxfxxf121117);((][)(201111111111111122xxxxxxf且，的定义域为解：;][)(21211002121121xxxxxxxxxfxfxf又或为增函数又,)()(:)(练习：已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数，试比较)的大小。431)与f(af(a2434322112)aaa（解：)()()(43120faafxf）为减函数，在（•练习：金版名卷（十一）练习：讨论函数（其中a≠）在区间（-2，+∞）上的单调性。2x1axf(x)21))(())(()()(221221212212122112121xxxxaxaxxaxxfxfxx解：设