2003年考研数学(一)真题评注

2003年考研数学（二）真题评注一、一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若0x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=-4.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin)1(lim4120xxaxx，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当0x时，241241~1)1(axax，2~sinxxx.于是，根据题设有14141limsin)1(lim2204120axaxxxaxxx，故a=-4.（2）设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式4ln2yxxy两边直接对x求导，得yyxyxy342，将x=1,y=1代入上式，有.1)1(y故过点(1,1)处的切线方程为)1(11xy，即.0yx（3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是!)2(lnnn.【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值)0()(nf，则麦克劳林公式中nx项的系数是.!)0()(nfn【详解】因为2ln2xy，2)2(ln2xy，nxxy)2(ln2,)(，于是有nny)2(ln)0()(，故麦克劳林公式中nx项的系数是.!)2(ln!)0()(nnynn（4）设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414aea.【分析】利用极坐标下的面积计算公式dS)(212即可.【详解】所求面积为dedSa20220221)(21=20241aea)1(414aea.（5）设为3维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=3.【分析】本题的关键是矩阵T的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由111111111T=111111，知111，于是.3111111T（6）设三阶方阵A,B满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若102020101A，则B21.【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由EBABA2知，EABEA)(2，即EABEAEA))((，易知矩阵A+E可逆，于是有.)(EBEA再两边取行列式，得1BEA，因为2002010100EA,所以B21.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.[D]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限nnncalim是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nnncblim属1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取nan2，1nb，),2,1(21nncn，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（2）设dxxxannnnn123101,则极限nnnalim等于(A)1)1(23e.(B)1)1(231e.(C)1)1(231e.(D)1)1(23e.[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为dxxxannnnn123101=)1(12310nnnnxdxn=}1])1(1{[1)1(1231023nnnnnnnxn，可见nnnalim=.1)1(}1])1(1{[lim23123ennnn（3）已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B).22xy(C).22yx(D).22yx[A]【分析】将xxyln代入微分方程，再令的中间变量为u，求出)(u的表达式，进而可计算出)(yx.【详解】将xxyln代入微分方程)(yxxyy，得)(lnln1ln1ln2xxxx，即xx2ln1)(ln.令lnx=u，有21)(uu，故)(yx=.22xy应选(A).（4）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（5）设401tandxxxI,dxxxI402tan,则(A).121II(B).121II(C).112II(D).112II[B]【分析】直接计算21,II是困难的，可应用不等式tanxx,x0.【详解】因为当x0时，有tanxx，于是1tanxx，1tanxx，从而有4tan401dxxxI，4tan402dxxxI，可见有21II且42I，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).（6）设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则(A)当sr时，向量组II必线性相关.(B)当sr时，向量组II必线性相关.(C)当sr时，向量组I必线性相关.(D)当sr时，向量组I必线性相关.[D]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则当sr时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，且向量组I线性无关，则必有sr.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如10,01,00211，则21100，但21,线性无关，排除(A)；01,01,00121，则21,可由1线性表示，但1线性无关，排除(B)；10,01,01211，1可由21,线性表示，但1线性无关，排除(C).故正确选项为(D).三、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(fff【详解】xxaxxxaxxffxxxarcsinlimarcsin)1ln(lim)(lim)00(30300=113lim1113lim220220xaxxaxxx=.6213lim220axaxx4sin1lim)(lim)00(200xxaxxexffaxxx=.4222lim41lim420220axaxaexaxxeaxxaxx令)00()00(ff，有4262aa，得1a或2a.当a=-1时，)0(6)(lim0fxfx，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim0fxfx，因而x=0是f(x)的可去间断点.四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当x=9时，可相应地确定参数t的取值.【详解】由tetttedtdytln2122ln21ln21，tdtdx4，得,)ln21(24ln212tettetdtdxdtdydxdy所以dtdxdxdydtddxyd1)(22=ttte412)ln21(122=.)ln21(422tte当x=9时，由221tx及t1得t=2,故.)2ln21(16)ln21(42222922ettedxydtx五、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctandxxxex【分析】被积函数含有根号21x，典型地应作代换：x=tant,或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即x=tant.【详解】设txtan，则dxxxex232arctan)1(=tdtttet2232sec)tan1(tan=.sintdtet又tdetdtettcossin=)coscos(tdtetett=tdtetetetttsinsincos，故.)cos(sin21sinCttetdtett因此dxxxex232arctan)1(=Cxxxex)111(2122arctan=.12)1(2arctanCxexx本题也可用分布积分法：dxxxex232arctan)1(=xdexxarctan21=dxxexxexx232arctan2arctan)1(1=xxdexxxearctan22arctan111=dxxxexexxexxx232arctan2arctan2arctan)1(11，移项整理得dxxxex232arctan)1(=.12)1(2arctanCxexx本题的关键是含有反三角函数，作代换txarctan或tant=x,六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为y=y(x)满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.【分析】将dydx转化为dxdy比较简单，dydx=ydxdy11，关键是应注意：)(22dydxdyddyxd=dydxydxd)1(=32)(1yyyyy.然后再代入原方程化简即可.【详解】(1)由反函数的求导公式知ydydx1，于是有)(22dydxdyddyxd=dydxydxd)1(=32)(1yyyyy.代入原微分方程得.sinxyy