2003年高考数学试题(天津文)及答案-2003年高考数学试题

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B）S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P.334RV那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径knkknnPPCkP)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式xxx24的解集是（）A．（0，2）B．（2，+∞）C．（2，4）D．（－∞，0）∪（2，+∞）2．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．81B．－81C．8D．－83．2)3(31ii（）A．i4341B．i4341C．i2321D．i23214．已知xxx2tan,54cos),0,2(则（）A．247B．－247C．724D．－7245．等差数列为则已知中naaaaann,33,4,31,}{521（）A．48B．49C．50D．516．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A．3B．26C．36D．337．设函数0,0,12)(,21xxxxfx若1)(0xf，则x0的取值范围是（）A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．（－∞，－2）∪（0，+∞）D．（－∞，－1）∪（1，+∞）8．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足).,0[|||(ACACABABOAOP则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心9．函数),1(,11lnxxxy的反函数为（）A．),0(,11xeeyxxB．),0(,11xeeyxxC．)0,(,11xeeyxxD．)0,(,11xeeyxx10．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．33aB．43aC．63aD．123a11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）。若P4与P0重合，则tanθ=（）A．31B．52C．21D．112．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．33D．6π第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13．92)21(xx展开式中9x的系数是.14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量。现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取，，辆。15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则”。16．将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.（以数字答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点.（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离.18．（本小题满分12分）已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19．（本题满分12分）已知数列).2(3,1}{111naaaannnn满足（Ⅰ）求;,32aa（Ⅱ）证明.213nna20．（本小题满分12分）在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）21．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(xxf是R上的偶函数，其图象关于点)0,43(M对称，且在区间]2,0[上是单调函数.求和的值.22．（本小题满分14分）已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（文史类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。1．C2．B3．B4．D5．C6．B7．D8．B9．B10．C11．C12．A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。13．22114．6，30，1015．S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD16．42三、解答题17．本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分12分。（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM.∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=21D1D.又EC21CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1.又CM⊥面DBD1.∴EF⊥面DBD1.∵BD1面DBD1.∴EF⊥BD1.故EF为BD1与CC1的公垂线.证法二：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），F（21，21，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.,0,0).2,1,1().2,0,0(),0,21,21(1111EFBDCCEFBDCCEF即EF⊥CC1，EF⊥BD1.故EF是为BD1与CC1的公垂线.（Ⅱ）解：连结ED1，有VE－DBD1=VD1－DBE.由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d..3322322223)2(2321.22221,22,2.1,2.2111dSSEFEDBEBDABAAEFSdSDBEDBDDBDDBE则故点D1到平面DBE的距离为332.18．本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分。（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P（x1,x21+2x1）的切线方程是：y－(x21+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即y=(2x1+2)x－x21①函数y=－x2+a的导数y′=－2x,曲线C2在点Q（x2,－x22+a）的切线方程是即y－(－x22+a)=－2x2(x－x2).y=－2x2x+x22+a.②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，x1+1=－x2所以－x21=x22+a.消去x2得方程2x21+2x2+1+a=0.若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－21时解得x1=－21，此时点P与Q重合.即当a=－21时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y=x－41.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a－21时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P（x1,y1）,Q（x2,y2）.其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=－1,y1+y2=x21+2x1+(－x22+a)=x21+2x1－(x1+1)2+a=－1+a.线段PQ的中点为).21,21(a同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是).21,21(a所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.19．本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分.（Ⅰ）∵a1=1.∴a2=3+1=4,a3=32+4=13.（Ⅱ）证明：由已知an－an－1=3n－1,故.2131333)()()(21112211nnnnnnnnaaaaaaaa所以证得213nna.20．本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.（Ⅰ）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95.P)(A=0.10,P)(B=P)(C=0.05.因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95=0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176.（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）=0.90×0.052+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.052=0.012.答：至少有两件不合格的概率为0.012.解法二：三件产品都合格的概率为P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.90×0.952=0.812.由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－P（A·B·C）+0.176=1－（0.812+0.176）=0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012.21．本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分.解：由f(x)是偶函数，得f(－x)=f(－x).即：).sin()sin(xx所以－xxsincossincos对任意x都成立，且,0所以得cos=0.依题设0，所以解得2，由f(x)的图象关于点M对称，得)43()43(xfxf.取x=0,得)43(f=－)43(f，所以)43(f=0..232,.]2,0[)2sin()(,310,2;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0,2,1,0),12(32.2,1,0,243,0,043cos.43cos)243sin()43(或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又xxfkxxfkxxfkkkkkf22．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵i=(1,0),c=(0,a),∴).2,1(2),,(aciaic因此，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y－a=－2ax.消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y(y－a)=－2a2x2,整理得,1)2()2(81222aayx①因为a0，所以得：（i）当a=22时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当0a22时，方程①表示椭圆，焦点E)2,2121(2aa和)2,2121(2aaF为合乎题