实验误差与不确定度(2014.2讲稿)

1普通物理实验绪论王丽香2014.2Tel:[phone]E-mail:[e-mail]2物理实验课的教学目的通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，加深对物理知识的理解。提高学生的科学实验能力。学会正确使用实验仪器；学会观察和分析实验现象；学习正确记录和处理实验数据、分析实验结果、撰写实验报告；能够完成简单的设计性实验。培养学生良好的科学实验素养。理论联系实际和实事求是的科学作风；严肃认真的科学态度；探索精神；遵守纪律、团结协作和爱护公共财产的品德。3绪论（测量误差和不确定度以及实验数据的处理方法）测量与误差的概念测量结果的表示不确定度的简化评定方法有效数字及其运算法则数据处理方法：列表法、作图法、逐差法、最小二乘法4一、测量以确定被测对象量值为目的的一组操作称为测量。测量的分类：直接测量：能在仪器上直接读出测量结果的测量。如：用米尺测长度、用天平测质量等。间接测量：利用已知函数关系经过运算才能得到测量结果的测量。如：测长方体的密度abcm5二、误差真值：被测量的真实量值。（理想概念）在实际测量中，常用被测量的实际值或已修正过的算术平均值来代替真值（约定真值）。如：g=9.80171m/s2（北京地区）误差：测量结果与待测量的真值（或约定值）之差值。％真值（约定值）绝对误差相对误差＝真值（或约定值）绝对误差＝测量结果－1006误差的分类系统误差：在对同一被测量的多次测量中，其绝对值和符号保持恒定或以可预知方式变化的误差分量。随机误差：在对同一被测量的多次测量中，绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差分量。71、系统误差产生原因：仪器设备误差：如停表走得过快；螺旋测微计的零点不准；钢尺受热膨胀；伏安法测电阻时的电表接入误差等。实验方案误差：如用单摆法测重力加速度时要求摆角很小；用落球法测重力加速度时空气阻力的影响等。环境因素：如温度、湿度的影响。减小误差的方法：可以通过校准仪器、改进实验装置和实验方法，或对测量结果进行理论上的修正来消除或减小系统误差。82、随机误差产生原因：随机误差是由实验中各种因素的微小变动引起的。如实验装置和测量机构在各次操作调整上的变动性、测量仪器指示数值的变动性、以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性等。减小误差的方法：可以通过重复多次测量来减小误差。9随机误差的正态分布规律特点：1、单峰性：绝对值小的误差出现的可能性大，绝对值大的误差出现的可能性小。2、对称性：大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。3、有界性：数值很大的误差在没有错误的情况下通常不出现。4、抵偿性：在多次测量时，正负随机误差可以大致相消。测量值越分散，随机误差越大。可以用标准偏差来表征随机误差的大小。x)(xp0xThestandarddeviation（标准偏差）NxxNiiN12lim＝Thesamplestandarddeviation(样本标准偏差)（贝塞尔公式）1..12NxxDSSNiixNiixNx11Themean（算术平均值）10随机误差的高斯分布（正态分布）Gaussian(ornormal)Distribution（高斯或正态分布）10.80.60.40.20xx0.52＝2.02＝0.12＝22221),;(xxexxf11高斯分布%)95(2Pxx%)68(Pxx%)95(2Pxx高斯分布可以用来估计测量值处于某个指定范围内的可能性。%)7.99(3Pxx可利用3σ准则剔除粗大误差数据。TheGaussianDistribution)1(12NNxxNNiixThestandarddeviationofthemean（算术平均值的标准偏差）NiixNx11Themean（算术平均值）10.80.60.40.20xx0.52＝2.02＝0.12＝22221),;(xxexxfGaussianDistributionThestandarddeviation（标准偏差）NxxNiiN12lim＝Thesamplestandarddeviation(样本标准偏差)（贝塞尔公式）1..12NxxDSSNiix22221),;(xxexxfTheprobabilitydensityfunction（几率密度函数）13有限次测量时的标准偏差xxppSNtNPPNNt，时，时，若＝当有关的量。、置信概率是与测量次数110595.0112NxxNtSNtNiipxpx在实际测量中，一般只能进行有限次的测量，测量误差不完全服从正态分布规律，而是服从t分布（又称学生分布）规律。此时测量平均值的标准偏差为因子的关系表测量次数与Ntp测量次数N2345678910因子的值Ntp8.982.481.591.241.050.930.840.770.7214三、测量结果的表示%)95(0Pxxx（单位）物理意义：被测量的真值落在区间内的可能性约为95％。),(00xxxx是指由于误差的存在而对被测量值不能肯定的程度。：不确定度%1000xExr相对不确定度15四、不确定度的简化评定方法1、不确定度的两类分量：：通过多次重复测量，可用统计方法估算的分量。：用非统计方法估算的分量。2、总不确定度AB仪时）（当BxAnS105（用方和根形式合成）＝仪2222xBAS163、单次直接测量量的不确定度估算当实验中只能测量一次或只需测量一次时，）（仪31xS仪B4、多次直接测量量的不确定度估算2222仪＝xBAS175、间接测量量不确定度的估算和差形式：积商形式：),,(:,,),,(LLLzyxfNzzyyxxzyxfNzyx222zyxNzfyfxf222lnlnlnzyxNzfyfxfN18间接测量量不确定度传递公式的推导确定度传递公式）（用方和根形式合成不（合并同类微分式）（求全微分式）（函数为和差形式）：例22222221614)1(421zyxNxyzxdzydydxzdNxdzzdxydydxdNxzyxN确定度传递公式）（用方和根形式合成不（求全微分式）（取对数）（函数为积商形式）：例2222lnlnlnlnln2cbamcdcbdbadamdmdcbamabcmcbam196、例题33222333222221003032.0155.4)(032.00312.0005.0995.114.3212121)(155.41553.4995.11416.36161005.0995.1)(005.000502.0004.05000046.0)(995.1008.0005.2001.2008.2001.2003.2000.261616,004.0,008.0611mmVmmdddddVmmdVmmdmmSmmdddnmmmmddVdVxBAdnii）（）（测量次数零点球的体积：：用螺旋测微计测小钢例仪仪20336622222222221221221222212211222122322212221)08.044.9()(08.00081.0436.9%81.000806.0109.64104.24.241.38575.2004.0880.2600.3004.0880.22880.2600.3004.0600.322222lnln4lnln)(436.94357.9575.2880.2600.344,)004.0575.2(,)004.0600.3(,)004.0880.2(212cmVcmVVhDDDDDDVhdhDDdDDdDDVdVhDDVcmhDDVVcmhcmDcmDVVhDDV解：及其不确定度。求环的体积高度＝外径：已知金属环的内径例21五、有效数字及其运算规则1、有效数字：准确数字和存疑数字的全体。有效数字位数的多少反映了测量结果的好坏。测量工具仪器误差Δ仪（mm）测量值d（mm）相对不确定度Er（%）有效数字位数钢尺0.36.34.8250分度游标卡尺0.026.360.313螺旋测微计0.0046.3470.0634例如：测量某一物体的厚度222、有效数字位数的统一规定（1）不确定度取1～2位有效数字。当首位数为1、2、3时取2位有效数字。（2）相对不确定度取2位有效数字。（3）测量结果的末位与不确定度的所在位取齐。（参见例1、例2）233、有效数字的运算依据：由误差决定有效数字的位数。●加减法：N＝5472.3+0.7536+1214+7.26＝6680●乘除法4105.49.76408326.30014.05.80N●混合运算22104.454.31101.454.31017.0032.754.31692.5709.5032.7N244、有效数字的科学表示法Whentheanswerisgiveninscientificnotation（科学表示）,theuncertaintyshouldbegiveninscientificnotationwiththesamepoweroften.Don'twritelikethefollowing61.430.0410zs641.4310210zs为整数naan,10110255、数字修约规则•测量值：四舍六入五凑偶•不确定度：只进不舍，隔零不进测量值2.435→2.4417.405→17.400.37451→0.3750.3745→0.3740.084→0.08不确定度0.42→0.50.402→0.40.322→0.330.3002→0.3026数据处理的基本方法列表法作图法逐差法最小二乘法（一元线性回归）关于作图法：本学期“弹性模量”实验，要求用计算机作图，软件用Excel或Origin（Origin软件在本实验室网站wlsyzx.bjut.edu.cn的“讲义下载”中下载）。两种软件都给学生介绍，由学生任选其一作图。有关内容在“弹性模量”实验课中讲。27列表法处理数据可以直观地表示出物理量之间的关系，可以列入运算的中间项，提高处理数据的效率，减少和避免错误，便于检查和发现问题。例：用分光计测三棱镜的顶角A，已知1)(＝仪Bθθ′φ测量内容游标Ⅰ游标Ⅱ游标Ⅰ游标ⅡφⅠφⅡφ=(φⅠ+φⅡ)/21330°3′150°3′210°3′30°3′120°0′120°0′120°0′2330°4′150°4′210°4′30°3′120°0′120°1′120°0′3330°2′150°2′210°1′30°1′120°1′120°1′120°1′4330°0′150°0′209°59′29°59′120°1′120°1′120°1′5330°3′150°2′210°0′30°0′120°3′120°2′120°2′测量次数6330°2′150°3′210°3′30°3′119°59′120°0′