2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题及解答

2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题（2005-8-7）（O水平）1．展开式25(2-3+4)xx中x4的系数为。2．已知数列{},{}nnab满足21a，41b，且已知nnnnnnbabbaa66211，*nN，则nnnbalim＝。3．已知：0,1ab，若以81664log,log,logababab为边长的三角形为直角三角形，则ab＝。4．已知：在ABC中，角A,B,C所对三边分别为,,abc若23tancot13cABb则A=_______。5．已知直线l经过抛物线C：xy42的焦点，且斜率k2。l与抛物线C交于A,B两点，AB的中点M到直线)3(043:mmyxLm的距离为51，则m的取值范围为______.6．设定义域为(0,)的单调递增函数()fx满足对于任意(0,)x都有3()fxx，且3[()]2ffxx，则(5)f＝。7．正方体八个顶点中任取4个不在同一平面上的顶点,,,ABCD组成的二面角ABCD的可能值有个。8．已知集合M={a，b，c}，N={2，4，8，…，220}，又f是集合M到N上的一个映射，且满足[f（b）]2=f（a）·f（c），则这样的映射共有个。9．设f(z)=2z(cos6+icos23)，这里z是复数，用A表示原点，B表示f(1+3i)，C表示点-i4，则∠ABC=。10．已知sinsin()cos()3,,4则=___________。11．设有足够的铅笔分给7个小朋友，每两人得到的铅笔数不同，最少者得到1支，最多者得到12支，则有种不同的分法。12．设实数1,,zyx，记})1(,)1(,)1(min{zyxzyxzyxzyxM，则M的最大值为。13．集合M={x|x=2n，n∈N*，且n≤2005}，已知22005是个604位数，则M中最高位是1的元素共有个。14．方程2!2nmkk的所有正整数解组(,)nm为。15．已知函数2()(0)fxaxbxca，并设22sin()cos()Mff，22(sincos)Nf当(),,2kkZR且时，M与N的大小关系为____________。16．在棱长为a的正方体内容纳9个等球，八个角各放一个，则这些等球最大半径是_______。17．两个盒子中都装有黑、白两种弹子，两盒中弹子总数为25，每次随机从每个盒子中取出一颗弹子，两颗弹子都为黑色的概率为2750，都为白色的概率为mn，其中,mn为互质的正整数，则mn=_______。18．若nN,且2226,13,12nnn+1都为完全平方数，则所有满足条件的n的和为_______.19．若,,,xyzwZ，且2005222247wzyx，则wzyx=______________.20．已知22)cos5(cos)4sin4(sin)(xxxf的最小值为)(g，则)(g的最大值为______________.21．设80x，则1)8)(8()(2xxxxxf的值域为________________.22．已知m,n为正整数，p为质数。若nmPC12，则mnp的最大值为__________.23．已知5151arctan2681arctan381arctan101arctan81arctan454321nnnnn，且)5,,2,1(iZni，则),,,,(54321nnnnn=________________.24．函数1)(2xxxf，)()(xfn定义如下：)()()1(xfxf，))(()()1()(xffxfnn，记nr为0)()(xfn的所有根的算术平均值。则2005r25．如果一个正整数n在三进制表示下的各位数字之和可以被3整除，那么我们称n为“好的”则前2005个“好的”正整数之和为_______________.2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题答题纸（O水平）（2005-08-07）1641021234096465(3,2)612578820093010411127008012131360314(2,1)(3,3)(4,5)15MN162332a1726180192004200482102或204921[0，4]2272231224(5,2,1,2,1)2560350502005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题（A水平）第一天（2005-8-7）1、已知：锐角△ABC中，AB=AC,P为BC边延长线上一点。X和Y分别为AB、AC边所在直线上的点，且满足PX∥AC，PY∥AB。T为△ABC外接圆劣弧BC的中点。证明：XYPT。2、已知：0,,cba，且1cabcab。求证：abcaccbba16161613333、在边长为1的正n（3n）边形12nPPP的内部或边界上任意放置不同的两点12,nnPP，试求：12minijijnPP的最大值。2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题（A水平）第一天答案1、证明：（向量法）设∠BAC=θ，BC=a，CA=b，AB=c，AX设AXPCYCkABBCCA，则(1)XYXAAYkABkAC，(1)PTPBBTkCBBT，∴XYPT2(1)(1)(1)kkABCBkABBTkACCBkACBT2(1)cos(1)cos(1)()22kkackabkABBTkACBCCT2(1)sin(1)sin(1)sin0222kkackabkab∴XY⊥PT2、证明：∵1667abbccabcbbbcaaa，同理：167abccabc，167abaabcc∴1116668()()bccaabbcaabcabcabc2()36()3()3bccaababbccaabcabcabcabc设3()ftt，它是上凸函数，由琴生不等式知123123()()()()33fxfxfxxxxf∴3333111111666(6)(6)(6)133bcabcaabcabcabc∴左边33abc，又2313()abbccaabc,∴左边2333()31abcabcabcabc，即原不等式成立。3、解：取P1P2和nn1222PP垂直平分线上两点Pn+1、Pn+2，使得Pn+1、Pn+2在n边形内且P1Pn+1=Pn+1Pn+2=Pn+2n12P，下对n分奇偶讨论.(1)若n为偶数，设n=2k，(kN*)，并设点O为n边形的中心，r=OPi(i=1,2,…,n)，则有2rsinn=1,则P1P2与Pk+1Pk+2之间的距离为(k1)sin(k1)n2rsinnsinn，设Pn+1Pn+2=x，则考虑下式成立：2(k1)sin1nx2x4sinn，设(k1)sinntsinn，则原方程可化为24x1tx，两边平方，整理得：3x2+2tx(t2+1)=0，解得222t4t12(t1)x6，即24t3tx3(负值舍去)，代入t，得22nn11224sin3sinsinnnnx3sinn，此时，}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji，①(由于当n时，显然相邻两顶点之间距离满足题意，所以，那时，最大值为1，事实上当n8时结论为1)下证明①式是PiPj最小值中最大的.反证：若存在一种方法，使得Pn+1、Pn+2到各顶点的距离及Pn+1Pn+2的最小值大于x，则以P1,P2,…,Pn为圆心，x为半径，在n边形内作弧，得到形内中间有一个曲边n边形A1A2…An.因为Pn+1、Pn+2在A1A2…An内，所以Pn+1Pn+2也在正n边形A1A2…An内，由此可得:Pn+1Pn+2x，矛盾.所以，当n为偶数时，}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji.(2)若n边奇数，设n=2k+1(kN*)，设点O为n边形的中心，设OP1=r，则2k12k2POP2k1；2k1k1PP2rsin2k1,1k22kPOP2k1；1k2kPP2rsin2k1,取P1P2、Pk+1Pk+2中点M、N，则P1Pk+2//P2Pk+1//MN//Pn+1Pn+2，MN=rsink12k1+rsink2k1，且Pn+1MN=Pn+2NM=14k2.设Pn+1Pn+2=x，考虑下式成立：211k1kx2xcosrsinsin44k22k1sk1由于2rsin2k1=1，所以1r2sin2k1，代入变为2k1ksinsin12k12k14x1cosx4k22sin2k1，即22k112sincos4k24k24x1x12sincos2k14k2，P1MP2Pn+1Pn+2NPk+1Pk+222k1sin4k24x1x1sin2k1，两边平方，整理得222n2n22sinsin2n2n3x1011sinsinnn,解得22n2n24sin3sinsin2nn2nx3sinn.此时，}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji②同n为偶数一样，可以证明②为PiPj最小值中的最大值，综上所述，}1,sin322sinsin322sin4{2221minminnnnnnnPPjinji.2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题（2005-8-8）（A水平）第二天4、问：是否存在函数:fRR，满足：对所有实数x，有33()[()]()fxxxfxfx，并证明你的结论。5、求证：存在惟一的正整数列123,,,aaa使得21211321,1,(1)111nnnnnnaaaaaaaa（n=1,2,3,…）6、理科实验班共30名学生，每一名学生在班内均有同样多的朋友（朋友是相互的）。在一次考试中，任意两名学生的成绩互不相同。如果一个学生的所有朋友中，有超过一半朋友的成绩低于该学生，则称该学生为“好学生”。试问：“好学生”最多可能有多少个？证明你的结论。2005中国数学奥林匹克协作体夏令营测试题（A水平）第二天答案4．解：存在（而且唯一）。首先：由单调性，易证映射x→x3+x是一个双射，且为递增。下面我们证明更一般的结论：对于任何递增的双射g:R→R，函数f:R→R对所有xR满足：f(g(x))≤x≤g(f(x))的充要条件是f=g–1。事实上，f=g–1显然满足这个函数不等式，（作为不等式）反之，如果f满足函数不等式，则11()((()))()fxfggxgx，又因为g是单调递增的双射，所以1g也单调递增，则1()()gxfx。故，对所有实数x，都有f=g–1。故本题中，g(x)=x3+x，所以存在函数f(x)=g–1(x)5．先证惟一性设数列na满足题中所有条件.则2211323323223322111(1)111(1)11kkkkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaa将上式变形得:331212(