立体几何垂直综合(个人整理)

第1页，共5页立体几何垂直综合一、线面垂直1.如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是边长为1的正方形，𝑃𝐴⊥底面ABCD，𝑃𝐴=1，点M是棱PC上的一点，且𝐴𝑀⊥𝑃𝐵．(Ⅰ)求三棱锥𝐶−𝑃𝐵𝐷的体积；(Ⅱ)证明：𝐴𝑀⊥平面PBD．2.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2.（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．3.如图，在直三棱柱ABC-A1BlC1中，AC=BC=√2，∠ACB=90°．AA1=2，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD：（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．4.已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．求证：（1）BC⊥平面SAC；（2）AD⊥平面SBC．第2页，共5页5.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐴1=√2，点D为A1C1的中点．（I）求证：BC1∥平面AB1D；（II）求证：A1C⊥平面AB1D；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．二.面面垂直6.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（2）求证：平面PEC⊥平面PCD．7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．8.如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；9.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；第3页，共5页10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（2）AM⊥平面PCD．11.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PD=PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN．（I）证明：MN⊥PC；（II）当H为PC的中点，PA=PC=√3𝐴𝐵，PA与平面ABCD所成的角为60°，求二面角P-AM-N的余弦值．12.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．13.如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．第4页，共5页14.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；15.如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A1B⊥B1C．（1）求证：直线AC⊥直线BB1；．16.四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD．（I）M为PD的中点，试证明：直线CM∥平面PAB；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点．（Ⅰ）若F为PC的中点，求证：面EFP⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面AFD⊥平面PAB；第5页，共5页19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，BD⊥DC，PD=BD=DC=12AB，E为PC中点．（I）证明：平面BDE⊥平面PBC；20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，PA⊥PB，F为CP上的点，且BF⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；21.如图，ABCD是平行四边形，已知𝐴𝐵=2𝐵𝐶=4，𝐵𝐷=2√3，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（1）证明：BD⊥CE；（2）若𝐵𝐸=𝐶𝐸=√10，求三棱锥B-ADE的高．22.如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，𝐴𝐵=𝐵𝐶=√2．（Ⅰ）若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；23.如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，平面𝑃𝐷𝐶⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝛥𝑃𝐷𝐶是等边三角形，底面ABCD为梯形，且∠𝐷𝐴𝐵=60∘，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐷𝐶=𝐴𝐷=2𝐴𝐵=2.(Ⅰ)证明：𝐵𝐷⊥𝑃𝐶；(Ⅱ)求A到平面PBD的距离.