(2-3)价值方程未知利率和未知时间的计算

1价值方程：未知利率和未知时间的计算2利息问题求解的四要素本金(presentvalue/Principle)利率(interestrate)期初/期末计息：贴现率/利率计息方式：单利/复利利息结转频率：实际利率、名义利率、利息力时间(time)积累值（终值）(accumulatedvalue/futurevalue)注：其中任何三个的值都可以决定第四个的值。31、价值方程（equationofvalue）问题：多笔金融业务发生在不同时刻，如何比较它们的价值？货币具有时间价值。不同时刻的货币量是无法直接比较大小的，必须将其调整（积累或贴现）到某一共同时刻（比较日）进行比较。将现金流调整到比较日的方程称为“价值方程”。4比较日的选择：期初和期末是两个特殊的比较日。其它中间时刻也可以作为比较日。采用复利计算，最终计算结果与比较日的选取无关。5例：某人愿意立即支付100元，第5年末支付200元，第10年末再支付X元。作为回报，他在第8年末得到600元。假定半年结转一次的年名义利率为8％。请计算第10年末他应该支付多少？解法一：时间单位＝半年。取期初为比较日。则半年的实际利率为4％，贴现因子为，价值方程为1(10.04)v102016100200600vXvv10005108200X6006解得16020600100200vvXv6000.53391100200(0.67556)186.760.456397解法二：时间单位＝半年。半年的实际利率为j=4%,取期末为比较日，则价值方程为20104100(1)200(1)600(1)jjXj10005108200X600420106001.041001.042001.04186.76X8解法三：时间单位＝半年。我们取第5年末为比较日。价值方程为10106100200600vXvv1610106001002006000.53391100200(0.67556)186.760.45639vvXv可以看出，不同比较日的计算结果相同，X=186.76。10005108200X60092、未知时间问题(unknowntime)例：假设有两种投资方式方式一：分别于投入；方式二：在时刻t一次投入元。若这两种的投资价值相等，求时刻t。12,,,nttt12,,,nsss12nssst1t2t3tn……s1s2s3sn12nssst10解法一（精确解）：两者在时刻0的价值相等的价值方程为得精确解为121212()nttttnnsssvsvsvsv121212lnln()ntttnnsvsvsvssstv11解法二（等时间法）：作为近似，t常用各个付款时间的加权平均来计算，11221112'nnnnnstststsstttsssss123、未知利率问题(unknowninterestrate)确定未知利率的方法解析法软件13例：如果现在投资1000元，3年后投资2000元，在10年后的全部收入为5000元，计算半年结转的年名义利率。解：令，价值方程为求解此方程得(2)/2ji20141000(1)2000(1)5000jj(2)20.032178=0.064i0.32178j144、年金的未知时间任何一个年金问题都包含下述三个变量：（1）年金的现值或终值；（2）年金的支付次数n；（3）利率i。问题:已知年金的现值A（或终值S）以及利率i，需要计算年金的支付次数n。由于期初付年金的现值和终值都可以表示为期末付年金的现值和终值，所以，下面假设已知的是期末付年金的现值A和终值S。15当已知年金的现值为=A，利率为i时，计算未知时间n的方程为上式经过变形，很容易求得关于未知时间的解析表达式当已知年金的终值为=S，利率为i时，计算未知时间n的方程为由此可见，未知时间问题都可以通过解析方法解决。iiAann)1(1|)1ln()1ln(iiAn)1ln()1ln(iiSn＋nanS16根据上述方法求出的时间n未必是整数。这就意味着经过整数个时期的付款之后，还需进行一次额外的付款。譬如，如果n=4.5年，那就意味着在经过4年的正常付款之后，在第5年中期还需支付一笔小额付款。17例：假设某投资人的原始投入为500，他想每年末得到100的回报，年利率为3％，请问年金的付款次数是多少？若年金为5年期，则年金的现值为457.97，小于500。若年金为6年期，则年金的现值为541，大于500。500100=5.498nan18解决方案：1.分五次付款，前4次每次付款100元，最后一次付款额为X，价值方程为X=148.7254|100(1.03)500aX2.分六次付款，前5次每次付款100元，最后一次付款为X，价值方程为X=50.1865|100(1.03)500aX