(2013春季发行)高三数学第一轮总复习6-1数列的概念新人教A版

16-1数列的概念基础巩固强化1.(2011·广东深圳一检)设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝()A.n－n－1]2B.－n－1＋12C.－n＋12D.－n－12[答案]D[解析]因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝－1－－n－1－－＝－n－12，选D.[点评]直接检验，S1＝－1，排除B，C；S3＝－1，排除A，故选D.2．(文)(2011·许昌月考)已知数列{an}的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列[答案]A[解析]an＝23－29n＋3，∵n∈N*，∴an随n的增大而增大，故选A.[点评]上面解答过程利用了反比例函数y＝－1x的单调性，也可以直接验证an＋1－an0.(理)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对任意n∈N*，都有an＋1an成立，则实数k的取值范围是()A．k0B．k－1C．k－2D．k－3[答案]D[解析]由an＋1an知道数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋2，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－k232，即得k－3，故选D.3．(文)将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是()A．34950B．35000C．35010D．350502[答案]A[解析]由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有＋2＝4950个，故第100组中的第1个数是34950，选A.(理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是()A．(3,61)B．(3,60)C．(61,3)D．(61,2)[答案]C[解析]根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n＋1的有n项，由nn＋2≤2014得n≤62，且n＝63时，nn＋2＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．4．(2012·河北保定模拟)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．6D．8[答案]D[解析]∵a3a11＝4a7，∴a27＝4a7，∴a7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.5．(2011·三亚联考)已知数列{an}的通项公式为an＝log3nn＋1(n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn－4成立的最小自然数n等于()A．83B．82C．81D．80[答案]C[解析]∵an＝log3nn＋1＝log3n－log3(n＋1)，∵Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)－4，解得n34－1＝80.6．在数列{an}中，已知an＋1＋an－1＝2an(n∈N＋，n≥2)，若平面上的三个不共线的向量OA→、OB→、OC→，满足OC→＝a1007OA→＋a1008OB→，三点A、B、C共线，且直线不过O点，则S2014等于()A．1007B．1008C．2014D．20153[答案]A[解析]由条件知{an}成等差数列，∵A、B、C共线，∴a1007＋a1008＝1，∴S2014＝a1＋a20142＝1007(a1007＋a1008)＝1007.7．已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝1－1an(n≥2)，则a2014＝________.[答案]12[解析]由题可知a2＝1－1a1＝－1，a3＝1－1a2＝2，a4＝1－1a3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a2014＝a1＝12.8．(文)(2011·吉林部分中学质量检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为________．[答案]an＝－1，n＝12n－1，n≥2[解析]当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝－1，n＝12n－1，n≥2.(理)(2011·湖南湘西联考)设关于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________.[答案]n2＋n(n∈N*)[解析]由x2－x2nx(n∈N*)得0x2n＋1，则an＝2n，所以Sn＝n2＋n.9．(文)设数列{an}的前n项和为Sn，对于所有n∈N*，Sn＝a1n－2，且a4＝54，则a1＝______.[答案]2[解析]a4＝S4－S3＝40a1－13a1＝27a1＝54，∴a1＝2.(理)已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于________．[答案]2010[解析]由题意an＋1＋an－1＝an(n≥2)，an＋an＋2＝an＋1，两式相加得an＋2＝－an－1，∴an＋3＝－an，∴an＋6＝an，4即{an}是以6为周期的数列．∵2014＝335×6＋4，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴a1＋a2＋…＋a2014＝335×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2010.10．(文)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝13Sn(n＝1,2,3，…)，求an.[解析]∵an＋1＝13Sn，∴an＝13Sn－1(n≥2)．∴an＋1－an＝13(Sn－Sn－1)＝13an(n≥2)．∴an＋1＝43an(n≥2)．又a1＝1，a2＝13S1＝13a1＝13，∴{an}是从第二项起，公比为43的等比数列．an＝13(43)n－2.∴an＝1，n＝1，1343n－2，n≥2.(理)(2011·邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．[解析](1)Sn＝n2＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1＝2，∵bn＝2an＋1，∴b1＝2a1＋1＝23，n≥2时，bn＝2n－＋1＝1n，∴bn＝23n＝，1nn5(2)由题设知，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，T2n＋1＝b1＋b2＋…＋b2n＋1，∴cn＝T2n＋1－Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1，∴cn＋1－cn＝(bn＋2＋bn＋3＋…＋b2n＋3)－(bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1)＝b2n＋2＋b2n＋3－bn＋1＝12n＋2＋12n＋3－1n＋112n＋2＋12n＋2－1n＋1＝0，∴cn＋1cn，即数列{cn}为递减数列.能力拓展提升11.(文)下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n的代数式表示)()A．4nB．4n＋1C．4n－3D．4n＋8[答案]D[解析]第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测：b2012是数列{an}中的第________项．[答案]5030[解析]由前四组可以推知an＝nn＋2，b1＝a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，依次可知，当n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，an能被5整除，由此可得，b2k＝a5k(k∈N*)，∴b2012＝a5×1006＝a5030.12．(2011·赣州市摸底)设a1，a2，…，a50是从－1，0,1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中数6字1的个数为()A．24B．15C．14D．11[答案]A[解析]a1＋a2＋…＋a50＝9，a1＋2＋a2＋2＋…＋a50＋2＝107，⇒a21＋a22＋…＋a250＝39.故a1，a2，…，a50中有11个零，设有x个1，y个－1，则x＋y＝39，x－y＝9，⇒x＝24，y＝15.故选A.13．(文)(2011·辽宁大连模拟)数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an＋2n(n∈N*)，则a2010＝()A．22010－1B．22010C．22010＋2D．22011－1[答案]B[解析]由条件知an＋1－an＝2n，a1＝2，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝n－1－2－1＋2＝2n，∴a2010＝22010.(理)(2011·大同市模拟)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足fxgx＝ax，且f′(x)g(x)f(x)g′(x)，fg＋f－g－＝52，若有穷数列{fngn}(n∈N*)的前n项和等于3132，则n等于()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]f′(x)g(x)f(x)g′(x)⇒fxgx－fxgx[gx20⇒[fxgx]′0⇒0a1，fg＋f－g－＝52⇒a＋a－1＝52⇒2a2－5a＋2＝07⇒a＝12或a＝2(舍去)，∴fngn＝(12)n，∴{fngn}(n∈N*)是以12为首项，12为公比的等比数列．∴12[1－12n]1－12＝3132，∴(12)n＝132，∴n＝5.故选B.14．(文)(2011·山西忻州市联考)数列{an}中，a1＝35，an＋1－an＝2n－1(n∈N*)，则ann的最小值是________．[答案]10[解析]由an＋1－an＝2n－1可知，当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝[2(n－1)－1]＋[2(n－2)－1]＋[2(n－3)－1]＋…＋(2×1－1)＋35＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－(n－1)＋35＝n2－2n＋36.∴ann＝n2－2n＋36n＝n＋36n－2≥2×n·36n－2＝10，当且仅当n＝6时，取等号．(理)已知f(x)＝sinπx2，an＝f(n)＋f′(n)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝________.[答案]1[解析]f′(x)＝π2cosπx2，an＝sinnπ2＋π2cosnπ2，∴a1＝1，a2＝－π2，a3＝－1，a4＝π2，且{an}的周期为4，又2013＝503×4＋1且a1＋a2＋a3＋a4＝0，∴S2013＝503×0＋a1＝1.15．(文)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n为正整数)．(1)求出数列{an}的通项公式；(2)若对任意正整数n，k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．[解析](1)∵3an＋1＋2Sn＝3，①∴当n≥2时，3an＋2Sn－1＝3，②8由①－②得，3an＋1－3an＋2an＝0.∴an＋1an＝13(n≥2)．又∵a1＝1,3a2＋2a1＝3，解得a2＝13.∴数列{an}是首项为1，公比q＝13的等比数列．∴an＝a1qn－1＝13n－1(n为正整数)．(2)由(1)知，Sn＝321－13n由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k≤321－13