(2013春季发行)高三数学第一轮总复习8-1直线的方程与两条直线的位置关系新人教A版

18-1直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012·乌鲁木齐地区质检)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.3π4[答案]B[解析]圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是π4.(理)(2012·内蒙包头模拟)曲线y＝x2＋bx＋c在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为()A．[0,1]B．[0，12]C．[0，|b|2]D．[0，|b－1|2][答案]B[解析]y′|x＝x0＝2x0＋b，设切线的倾斜角为α，则0≤tanα≤1，即0≤2x0＋b≤1，∴点P(x0，f(x0))到对称轴x＝－b2的距离d＝|x0＋b2|＝12|2x0＋b|∈[0，12]，故选B.2．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测)“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线平行的充要条件是2a＝a2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．[点评]如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．(理)(2011·东营模拟)已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的()2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]l1∥l2时，an－bm＝0；an－bm＝0时⇒/l1∥l2.故an＝bm是直线l1∥l2的必要不充分条件．3．(2011·烟台模拟)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是()A．(－2,1)B．(－2,5)C．(2，－5)D．(4，－3)[答案]B[解析]x＝2－4＝－2，y＝2－(－3)＝5，故选B.4．(文)(2011·梅州模拟)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为()A．5B．4C．2D．1[答案]C[解析]由题意知，a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，∴a2b＝a2＋1，∴ab＝a2＋1a＝a＋1a，∴|ab|＝|a＋1a|＝|a|＋1|a|≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．(理)已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2)y＋2＝0互相垂直，则3a＋2b的最小值为()A．12B.136C．1D．25[答案]D[解析]∵两直线互相垂直，∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0，∴3a＋2b＝1，∵a、b0，∴3a＋2b＝(3a＋2b)(3a＋2b)＝13＋6ba＋6ab≥13＋26ba·6ab＝25.3等号成立时，6ba＝6ab3a＋2b＝1，∴a＝b＝15，故3a＋2b的最小值为25.5．两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()[答案]A[解析]直线l1在x轴上的截距与直线l2在y轴上的截距互为相反数，直线l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距互为相反数，故选A.[点评]可用斜率关系判断，也可取特值检验．6．(文)(2011·安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]C[解析]设过点P(2,1)的直线方程为xa＋yb＝1，则2a＋1b＝1，即2b＋a＝ab，又S＝12|a||b|＝4，即|ab|＝8，4由2b＋a＝ab，|ab|＝8，解得a、b有三组解a＝4，b＝2，a＝－4－42，b＝－2＋22，或a＝42－4，b＝－2－22.所以所求直线共有3条，故选C.(理)(2012·山东模拟)若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数m的取值范围是()A.12m1B．－1m≤12C．－12≤m1D.12≤m≤1[答案]D[解析]若直线(m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率和截距均小于等于0.直线变形为y＝(m2－1)x－2m＋1，则m2－1≤0，－2m＋1≤0，⇒12≤m≤1，故选D.[点评](1)令x＝0得y＝－2m＋1，令y＝0得，x＝2m－1m2－1，则－2m＋10，2m－1m2－10，或－2m＋1＝0，m2－1≤0，也可获解．(2)取特值m＝0,1，检验亦可获解．7．(2011·宁夏银川一中月考)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．[答案]－2或1[解析]令x＝0得y＝2＋a，令y＝0得x＝a＋2a，由条件知2＋a＝a＋2a，∴a＝－2或1.8．(文)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号)[答案]①⑤[解析]求得两平行线间的距离为2，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线5的倾斜角为45°，则m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.(理)(2012·佛山市高三检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．[答案]12[解析]直线方程可化为x2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，由ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2(b－12)2＋12，由于0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.9．(2011·大连模拟)已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．[答案]3[解析]由已知条件可知线段AB的中点1＋m2，0在直线x＋2y－2＝0上，代入直线方程解得m＝3.[点评]还可利用AB⊥l求解，或AB→为l的法向量，则AB→∥a，a＝(1,2)，或先求AB中点纵坐标y0，利用AB的中点在直线上求出其横坐标x0再求m.10．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.[解析](1)由题意得m2－8＋n＝0，2m－m－1＝0，解得n＝7，m＝1，∴当m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(1，－1)．(2)l1∥l2⇔m2＝8m≠n－1，得：m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2.(3)l1⊥l2⇔m×2＋8×m＝0，∴m＝0，则l1：8y＋n＝0.又l1在y轴上的截距为－1，则n＝8.综上知m＝0，n＝8.6[点评]讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况．处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.能力拓展提升11.(文)(2012·辽宁文)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0[答案]C[解析]本题考查了直线与圆的位置关系．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝4，∵直线平分圆，∴直线过圆心．因此，可代入验证．经验证得C正确．[点评]关键是明确圆是轴对称图形，对称轴过圆心．(理)(2011·西安八校联考)已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且直线l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于()A．－4B．－2C．0D．2[答案]B[解析]依题意知，直线l的斜率为k＝tan3π4＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有2＋13－a＝1，∴a＝0，又直线l2与l1平行，∴1＝－2b，∴b＝－2，∴a＋b＝－2，选B.12．(文)若三直线l：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋12＝0能围成三角形，则k不等于()A.32B．－2C.32和－1D.32、－1和－12[答案]D[解析]由x－y－1＝0，2x＋3y＋8＝0，得交点P(－1，－2)，7若P在直线x＋ky＋k＋12＝0上，则k＝－12.此时三条直线交于一点；k＝32时，直线l1与l3平行．k＝－1时，直线l2与l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠－12，32和－1.(理)(2011·北京文，8)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4B．3C．2D．1[答案]A[解析]因为|AB|＝22，要使三角形面积是2，则C点到直线AB的距离为2.直线AB的方程为x＋y－2＝0，设C点所在的直线方程为x＋y＋m＝0，所以d＝|m＋2|2＝2，解得m＝0或m＝－4，所以C点的轨迹为x＋y＝0，或x＋y－4＝0.又因为点C在函数y＝x2的图象上，x＋y＝0，和x＋y－4＝0与y＝x2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评]可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．13．已知指数函数y＝2x的图象与y轴交于点A，对数函数y＝lgx的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点M(0，－2)，则|MP|的最小值为________．[答案]322[解析]A(0,1)，B(1,0)，∴直线AB：x＋y－1＝0，又M(0，－2)，当|MP|取最小值时，MP⊥AB，∴|MP|的最小值为M到直线AB的距离d＝|0－2－1|2＝322.14．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2的距离为________．[答案]3或5[解析]由(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，且－2×1－(4－k)×3≠0，∴k＝3或5.当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2：－2y＋3＝0，此时l1与l2距离为：52；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2的距离为|3－2|42＋－28＝510.15．(文)已知两条直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.当m分别为何值时，l1与l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？[解析](1)当m＝－5时，显然l1与l2相交；当m≠－5时，两直线l1和l2的斜率分别为k1＝－3＋m4，k2＝－25＋m，它们在y轴上的截距分别为b1＝5－3m4，b2＝85＋m.由k1≠k2，得－3＋m4≠－25＋m，即m≠－7，且m≠－1.∴当m≠－7，且m≠－1时，l1与l2相交．(2)由k1＝k2，b1≠b2，得－3＋m4＝－25＋m，5－3m4≠85＋m，得m＝－7.∴当m＝－7时，l1与l2平行．(3)由k1k2＝－1，得－3＋m4·(－25＋m)＝－1，m＝－133.∴当m＝－133时，l1与l2垂直．(理)(2011·青岛模拟)已知三点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，分别求满足下列条件的m值．(1)三点构成直角三角形ABC；(2)A、B、C三点共线．[解析](1)若角A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若角B为直角，则AB⊥BC，9∴kAB·kBC＝－1，即－12·m－12－1＝－1，得m＝3；若角C为直角，则AC