(2013春季发行)高三数学第一轮总复习9-7用向量方法证明平行与垂直理新人教A版

19-7用向量方法证明平行与垂直(理)基础巩固强化1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面CC1D1D的中心．若AE→＝zAA1→＋xAB→＋yAD→，则x＋y＋z的值为()A．1B.32C．2D.34[答案]C[解析]∵AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋12AA1→＋12AB→.∴x＋y＋z＝1＋12＋12＝2.2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的可能是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1，－2,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3，－1)[答案]B[解析]欲使l∥α，应有n⊥a，∴n·a＝0，故选B.3．二面角α－l－β等于60°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长等于()A.3aB.5aC．2aD．a[答案]C[解析]如图．∵二面角α－l－β等于60°，∴AC→与BD→夹角为60°.2由题设知，CA→⊥AB→，AB→⊥BD→，|AB→|＝|AC→|＝a，|BD→|＝2a，|CD→|2＝|CA→＋AB→＋BD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝4a2，∴|CD→|＝2a.4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，则|c|＝()A．5B．6C.66D.41[答案]C[解析]∵a、b、c三向量共面，∴存在实数λ、μ，使c＝λa＋μb，∴(4，－5，x)＝(2λ－μ，－λ＋4μ，3λ－2μ)，∴2λ－μ＝4，－λ＋4μ＝5，3λ－2μ＝x.∴x＝5，∴|c|＝42＋52＋52＝66.5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则AE→·AF→的值为()A．a2B.12a2C.14a2D.34a2[答案]C3[解析]AE→·AF→＝12(AB→＋AC→)·12AD→＝14(AB→·AD→＋AC→·AD→)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.故选C.6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP→＝12BA→－12BC→＋BD→，则|BP→|2的值为()A.32B．2C.10－24D.94[答案]D[解析]由题意，翻折后AC＝AB＝BC，∴∠ABC＝60°，∴|BP→|2＝|12BA→－12BC→＋BD→|2＝14|BA→|2＋14|BC→|2＋|BD→|2－12BA→·BC→－BC→·BD→＋BA→·BD→＝14＋14＋2－12×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝94.7．(2012·河南六市联考)如图，在平行四边形ABCD中，AB→·BD→＝0,2AB→2＋BD→2＝4，若将其沿BD折成直二面角A－BD－C，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________．4[答案]43π[解析]因为AB⊥BD，二面角A－BD－C是直二面角，所以AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AD⊥DC.故△ABC，△ADC均为直角三角形．取AC的中点M，则MA＝MC＝MD＝MB，故点M即为三棱锥A－BCD的外接球的球心．由2AB→2＋BD→2＝4⇒AB→2＋BD→2＋CD→2＝AC→2＝4，∴AC＝2，∴R＝1.故所求球的体积为V＝43π.8．(2011·金华模拟)已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且|AC→||AB→|＝13，则点C的坐标为________．[答案](103，－1，73)[解析]∵C为线段AB上一点，∴存在实数λ0，使AC→＝λAB→，又AB→＝(－2，－6，－2)，∴AC→＝(－2λ，－6λ，－2λ)，∵|AC→||AB→|＝13，∴λ＝13，∴AC→＝(－23，－2，－23)，∴C(103，－1，73)．9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．5[答案]1[解析]以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，∴F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF即可，∵AF→＝(－1,0，－t)，B1E→＝(k－1,0,1)，∴AF→·B1E→＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.10.(2012·天津调研)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．[解析](1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，6易得CD＝AC＝2，∴AC⊥CD.又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则PE→＝(0，y，z－1)，PD→＝(0,2，－1)．∵PE→∥PD→，∴y·(－1)－2(z－1)＝0①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE→＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.∴CE→⊥AD→.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.将y＝1代入①，得z＝12.∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点.能力拓展提升11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为()A．150°B．45°C．60°D．120°[答案]C7[解析]由条件知，CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝116＋96cos〈CA→，BD→〉＝(217)2，∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，∴〈CA→，BD→〉＝120°，所以二面角的大小为60°.12．在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点．求证：(1)B1D⊥平面ACD1；(2)BO1∥平面ACD1.[证明]建立如图所示的空间直角坐标系，由于正方体的棱长为1，8则B(1,0,0)，O1(12，12，1)，D1(0,1,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，∴B1D→＝(－1,1，－1)，AD1→＝(0,1,1)，AC→＝(1,1,0)，BO1→＝(－12，12，1)．(1)∵B1D→·AD1→＝0，B1D→·AC→＝0，∴B1D→⊥AD1→，B1D→⊥AC→，∵AD1→与AC→不共线，∴B1D→⊥平面ACD1，∴B1D⊥平面ACD1.(2)∵B1D→·BO1→＝0，∴B1D→⊥BO1→，∴BO1→∥平面ACD1.又BO1⊄平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1.[点评]第(2)问还可以通过证明BO1→＝OD1→(其中O为AC中点)证明．13．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．[解析]9(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴AD、DC、PD两两垂直，如图，以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，a2，0)、P(0,0，a)、F(a2，a2，a2).EF→＝(－a2，0，a2)，DC→＝(0，a,0)．∵EF→·DC→＝0，∴EF→⊥DC→，即EF⊥CD.(2)设G(x,0，z)，则FG→＝(x－a2，－a2，z－a2)，若使GF⊥平面PCB，则由FG→·CB→＝(x－a2，－a2，z－a2)·(a,0,0)＝a(x－a2)＝0，得x＝a2；由FG→·CP→＝(x－a2，－a2，z－a2)·(0，－a，a)＝a22＋a(z－a2)＝0，得z＝0.∴G点坐标为(a2，0,0)，即G点为AD的中点．14．(2011·海口调研)在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E是AD的中点，F是PC的中点．10(1)求证：BE⊥平面PAD；(2)求证：EF∥平面PAB；(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．[解析]解法一：(1)∵E是AD中点，连接PE，∴AB＝2，AE＝1.BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAD＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.∴AE2＋BE2＝1＋3＝4＝AB2，∴BE⊥AE.又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，∴BE⊥平面PAD.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，∵AE綊12BC，又∵HF是△PBC的中位线，∴HF綊12BC，∴AE綊HF，∴四边形AHFE是平行四边形，∴EF∥AH，又EF⊄平面PAB，AH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.11(3)由(1)知，BC⊥BE，PE⊥BC，又PE，BE是平面PBE内两相交直线，∴BC⊥平面PBE，又由(2)知，HF∥BC，∴HF⊥平面PBE，∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角，易知BE＝PE＝3，在Rt△PEB中，EH＝62，∴tan∠FEH＝162＝63，∴cos∠FEH＝155.故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为155.解法二：容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系E－xyz如图．易求BE＝PE＝3，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－2，3，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，3)，因为F是PC的中点，则F(－1，32，32)．(1)∵EB→·EA→＝0·1＋3·0＝0·0＝0，∴EB→⊥EA→，即EB⊥EA，∵EB→·EP→＝0·0＋3·0＋0·3＝0，∴EB→⊥EP→，即EB⊥EP，∵EA，EP是平面PAD内的两相交直线，12∴EB⊥平面PAD.(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，32，32)，∵EF→＝(－1，32，32)，AH→＝(0，32，32)－(1,0,0)＝(－1，32，32)，∴EF→∥AH→，∵又EF⊄平面PAB，AH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(3)∵y轴⊂平面PBE，z轴⊂平面PBE，∴平面PBE的法向量为n＝(1,0,0)，∵EF→＝(－1，32，32)，设直线EF与平面PBE所成角为θ，∴sinθ＝|EF→·n||EF→||n|＝105，∴cosθ＝155，故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为155.15．(2012·辽宁理，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．13(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，因