哈希表

哈希表及其应用哈希函数的构造方法处理冲突的方法一、引入现在要存储和使用下面的线性表：A=（1，75，324，43，1353，90，46）。那么，很简单，定义一个一维数组A[1..n]，此处n=7，将表中元素按先后顺序存储在A[i]中，但这样给查找带来了开销，尤其是n很大时，我们需要用O(n)的时间去查找某个元素（当然也可采用二分查找提高效率）；反之，为了用O(1)的时间实现查找，可以分析这个线性表的元素类型和范围，开一个一维数组A[1..1353],使得A[key]=key，即线性表的key这个元素存储在A[key]中，这样一来，查找的效率便为O（1）了，但显然造成了空间上的很大浪费，尤其是数据范围分布很广时。为了使空间开销减少，我们可以对第二种方法加以优化，设计一个函数h(key)=keymod13，然后把key存在A[h(hey)]中，这样一来定义一个一维数组A[0..12]就已足够，这种方法就是我们要学习的哈希表（散列表）。哈希表是一种高效的数据结构。它的最大优点就是把数据存储和查找所消耗的时间大大降低，几乎可以看成是常数时间；而代价仅仅是消耗比较多的内存。然而在当前可利用内存越来越多、程序运行时间控制的越来越短的情况下，用空间换时间的做法还是值得的。另外，哈希表编码实现起来比较容易也是它的优点之一。二、基本原理哈希表的基本原理是：使用一个下标范围比较大的数组A来存储元素，设计一个函数h，对于要存储的线性表的每个元素node，取一个关键字key，算出一个函数值h(key)，把h(key)作为数组下标，用A[h(key)]这个数组单元来存储node。也可以简单的理解为，按照关键字为每一个元素“分类”，然后将这个元素存储在相应“类”所对应的地方（这一过程称为“直接定址”）。但是，不能够保证每个元素的关键字与函数值是一一对应的，因此极有可能出现对于不同的元素，却计算出了相同的函数值，这样就产生了“冲突”，换句话说，就是把不同的元素分在了相同的“类”之中。例如，假设一个结点的关键码值为key，把它存入哈希表的过程是：根据确定的函数h计算出h(key)的值，如果以该值为地址的存储空间还没有被占用，那么就把结点存入该单元；如果此值所指单元里已存了别的结点（即发生了冲突），那么就再用另一个函数I进行映象算出I(h(key)),再看用这个值作为地址的单元是否已被占用了，若已被占用，则再用I映象，……，直到找到一个空位置将结点存入为止。当然这只是解决“冲突”的一种简单方法，如何避免、减少和处理“冲突”是使用哈希表的一个难题。在哈希表中查找的过程与建立哈希表的过程相似，首先计算h(key)的值，以该值为地址到基本区域中去查找。如果该地址对应的空间未被占用，则说明查找失败，否则用该结点的关键码值与要找的key比较，如果相等则检索成功，否则要继续用函数I计算I(h(key))的值，……。如此反复到某步或者求出的某地址空间未被占用（查找失败）或者比较相等（查找成功）为止。三、基本概念和简单实现图1用哈希函数h将关键字映射到哈希表T中的示意图图1形象地表示了哈希表处理的各个要素，具体概念如下：1、两个集合：U是所有可能出现的关键字集合；K是实际存储的关键字集合。2、函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上，可以表示成h：U→{0，1，2，...，m-1}，通常称h为“哈希函数(HashFunction)”，其作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销（注：|U|表示U中关键字的个数，下同）。3、将结点按其关键字的散列地址存储到哈希表（散列表）中的过程称为“散列(Hashing)”。方法称为“散列法”。4、h(Ki)(Ki∈U)是关键字为Ki的结点的“存储地址”，亦称散列值、散列地址、哈希地址。5、用散列法存储的线性表称为“哈希表（HashTable）”，又称散列表。图中T即为哈希表。在散列表里可以对结点进行快速检索（查找）。6、对于关键字为key的结点，按照哈希函数h计算出地址h(key)，若发现此地址已被别的结点占用，也就是说有两个不同的关键码值key1和key2对应到同一个地址，即h(key1)=h(key2)，这个现象叫做“冲突（碰撞）”。碰撞的两个（或多个）关键码称为“同义词”（相对于函数h而言）。如图1中的关键字k2和k5，h(k2)=h(k5)，即发生了“冲突”，所以k2和k5称为“同义词”。假如先存了k2，则对于k5，我们可以存储在h(k2)+1中，当然h(k2)+1要为空，否则可以逐个往后找一个空位存放。这是另外一种简单的解决冲突的方法。发生了碰撞就要想办法解决，必须想办法找到另外一个新地址，这当然要降低处理效率，因此我们希望尽量减少碰撞的发生。这就需要分析关键码集合的特性，找适当的哈希函数h使得计算出的地址尽可能“均匀分布”在地址空间中。同时，为了提高关键码到地址转换的速度，也希望哈希函数“尽量简单”。然而对于各种取值的关键码而言，一个好的哈希函数通常只能减少碰撞发生的次数，无法保证绝对不产生碰撞。因此散列除去要选择适当的哈希函数以外，还要研究发生碰撞时如何解决，即用什么方法存储同义词。7、负载因子我们把h(key)的值域所对应到的地址空间称为“基本区域”，发生碰撞时，同义词可以存放在基本区域还没有被占用的单元里，也可以放到基本区域以外另开辟的区域中（称为“溢出区”）。下面引入散列的一个重要参数“负载因子或装填因子(LoadFactor)”，它定义为：а=数基本区域能容纳的结点散列表中结点的数目负载因子的大小对于碰撞的发生频率影响很大。直观上容易想象，а越大，散列表装得越满，则再要载入新的结点时碰上已有结点的可能性越大，冲突的机会也越大。特别当а＞1时碰撞是不可避免的。一般总是取а＜1，即分配给散列表的基本区域大于所有结点所需要的空间。当然分配的基本区域太大了也是浪费。例如，某校学生干部的登记表，每个学生干部是一个结点，用学号做关键码，每个学号用7位数字表示，如果分配给这个散列表的基本区域为107个存储单元，那么散列函数就可以是个恒等变换，学号为7801050的学生结点就存入相对地址为7801050的单元，这样一次碰撞也不会发生，但学校仅几百个学生干部，实际仅需要几百个单元的空间，如果占用了107个存储单元，显然太浪费了，所以这是不可取的。负载因子的大小要取得适当，使得既不过多地增加碰撞，有较快的检索速度，也不浪费存储空间。下面结合引例说明一下上面的思想和方法。【例1】用散列存储线性表：A=（18，75，60，43，54，90，46）。分析：假定选取的散列函数为：h(K)=Kmodm，K为元素的关键字，m为散列表的长度，用余数作为存储该元素的散列地址。这里假定K和m均为正整数，并且m要大于等于线性表的长度n。此例n=7，故假定取m=13，则得到的每个元素的散列地址为：h(18)=18mod13=5h(75)=75mod13=10h(60)=60mod13=8h(43)=43mod13=4h(54)=54mod13=2h(90)=90mod13=12h(46)=46mod13=7根据散列地址按顺序把元素存储到散列表H（0：m-1）中，存储映象为：012345678910111254431846607590当然这是一个比较理想的情况。假如再往表中插入第8个元素30，h(30)=30mod13=4，我们H[4]已经存了43，此时就发生了冲突。我们可以从H[4]往后按顺序找一个空位置存放30，即可以把它插入到H[6]中。四、哈希函数的构造方法选择适当的哈希函数是实现散列的重中之重，构造哈希函数有两个标准：简单和均匀。简单是指哈希函数的计算要简单快速；均匀是指对于关键字集合中的任一关键字，哈希函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，哈希函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{0，1，...，m-1}上，以使冲突最小化。为简单起见，假定关键码是定义在自然数集合上，常见的哈希函数构造方法有：1、直接定址法以关键字Key本身或关键字加上某个数值常量C作为散列地址的方法。散列函数为：h(Key)=Key+C，若C为0，则散列地址就是关键字本身。2、除余法选择一个适当的正整数m，用m去除关键码，取其余数作为地址，即：h(Key)=Keymodm，这个方法应用的最多，其关键是m的选取,一般选m为小于某个区域长度n的最大素数（如例1中取m=13），为什么呢？就是为了尽力避免冲突。假设取m=1000，则哈希函数分类的标准实际上就变成了按照关键字末三位数分类，这样最多1000类，冲突会很多。一般地说，如果m的约数越多，那么冲突的几率就越大。简单的证明：假设m是一个有较多约数的数，同时在数据中存在q满足gcd(m,q)=d1，即有m=a*d,q=b*d,则有以下等式：qmodm=q–m*[qdivm]=q–m*[bdiva]。其中，[bdiva]的取值范围是不会超过[0，b]的正整数。也就是说，[bdiva]的值只有b+1种可能，而m是一个预先确定的数。因此上式的值就只有b+1种可能了。这样，虽然mod运算之后的余数仍然在[0，m-1]内，但是它的取值仅限于等式可能取到的那些值。也就是说余数的分布变得不均匀了。容易看出，m的约数越多，发生这种余数分布不均匀的情况就越频繁，冲突的几率越高。而素数的约数是最少的，因此我们选用大素数。记住“素数是我们的得力助手”。3、数字分析法常有这样的情况：关键码的位数比存储区域的地址的位数多，在这种情况下可以对关键码的各位进行分析，丢掉分布不均匀的位留下分布均匀的位作为地址。本方法适用于所有关键字已知，并对关键字中每一位的取值分布情况作出了分析。【例2】对下列关键码集合（表中左边一列）进行关键码到地址的转换，要求用三位地址。分析：关键码是9位的，地址是3位的，需要经过数字分析丢掉6位。丢掉哪6位呢？显然前3位是没有任何区分度，第5位1太多、第6位基本都是8和9、第7位都是3、4、5，这几位的区分度都不好，而相对来说，第4、8、9位分布比较均匀，所以留下这3位作为地址（表中右边一列）。4、平方取中法将关键码的值平方，然后取中间的几位作为散列地址。具体取多少位视实际要求而定，取哪几位常常结合数字分析法。【例3】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得(0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)，若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：(100，121，201，020，123)。5、折叠法如果关键码的位数比地址码的位数多，而且各位分布较均匀，不适于用数字分析法丢掉某些数位，那么可以考虑用折叠法。折叠法是将关键码从某些地方断开，分关键码为几个部分，其中有一部分的长度等于地址码的长度，然后将其余部分加到它的上面，如果最高位有进位，则把进位丢掉。一般是先将关键字分割成位数相同的几段（最后一段的位数可少一些），段的位数取决于散列地址的位数，由实际需要而定，然后将它们的对应位叠加和（舍去最高位进位）作为散列地址。【例4】如关键码Key=58422241，要求转换为3位的地址码。分析：分如下3段：584|222|41，则相加：58422241847h(Key)=847KeyH(Key)000319426326000718309709000629443643000758615715000919697997000310329329、基数转换法将关键码值看成在另一个基数制上的表示，然后把它转换成原来基数制的数，再用数字分析法取其中的几位作为地址。一般取大于原来基数的数作转换的基数，并且两个基数要是互质的。如：key=(236075)10是以10为基数的十进制数，现在