2019年高考数学复习第六章不等式推理与证明6.4基本不等式课件理

1234考情分析基础自主梳理考点疑难突破课时跟踪检测栏目导航考情分析1考点分布考纲要求考点频率命题趋势基本不等式及其应用基本不等式：a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.5年22考对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.基础自主梳理2「基础知识填一填」1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)；(4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．a＞0，b＞0a＝b2ab3．算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为_____，基本不等式可叙述为：．4．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是______(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是____(简记：和定积最大)．a＋b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2pq24「应用提示研一研」1．辨明两个易误点(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可．(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．「基础小题练一练」1．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD．ba＋ab≥2解析：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误；对于B，C，当a0，b0时，明显错误；对于D，因为ab0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2.答案：D2．(2017届郑州模拟)设a0，b0，若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是()A．2B．14C．4D．8解析：由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时，取等号，所以最小值为4.答案：C3．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：54．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，所以S＝xy≤x＋y22＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．答案：25m2考点疑难突破3利用基本不等式求最值[题组训练]1．(2017届宜春中学与新余一中联考)已知，x，y∈R＋，且x＋y＋1x＋1y＝5，则x＋y的最大值是()A．3B．72C．4D．92解析：由x＋y＋1x＋1y＝5，得5＝x＋y＋x＋yxy，∵x0，y0，∴5≥x＋y＋x＋yx＋y22＝x＋y＋4x＋y，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.答案：C2．(2017届常州调研)若实数x满足x－4，则函数f(x)＝x＋9x＋4的最小值为________．解析：∵x－4，∴x＋40，∴f(x)＝x＋9x＋4＝x＋4＋9x＋4－4≥2x＋4·9x＋4－4＝2，当且仅当x＋4＝9x＋4，即x＝－1时取等号．答案：23．若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为________．解析：∵a0，b0，则1a＋2b≥22ab＝22ab，当且仅当1a＝2b即b＝2a时“＝”成立，则有ab≥22ab，即ab≥22.答案：22利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．基本不等式的实际应用[典例导引]某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．【解】(1)设污水处理池的长为x米，则宽为200x米，总造价f(x)＝400×2x＋2×200x＋100×200x＋60×200＝800×x＋225x＋12000≥1600x·225x＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝225x(x0)，即x＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．(2)记g(x)＝x＋225x(0x≤14.5)，显然是减函数，所以x＝14.5时，g(x)有最小值，相应造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米．解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[自主演练]首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·80000x－200＝200，当且仅当12x＝80000x，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2－200x＋80000＝－12x2＋300x－80000＝－12(x－300)2－35000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－80000，－40000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.利用基本不等式求参数的取值范围[典例导引](1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【解析】(1)对任意x∈N*，f(x)≥3，即x2＋ax＋11x＋1≥3恒成立，即a≥－x＋8x＋3.设g(x)＝x＋8x，x∈N*，则g(x)＝x＋8x≥42，当x＝22时等号成立，又x∈N*且g(2)＝6，g(3)＝173.∵g(2)g(3)，∴g(x)min＝173，∴－x＋8x＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是－83，＋∞.(2)∵x0，a0，∴f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又∵f(x)在x＝3时取得最小值，∴a＝4×32＝36.答案：(1)－83，＋∞(2)36求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[自主演练]1．(2017届福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.12B．32C．1D．2解析：由题意可得a0，①当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号．所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1，故选C.答案：C2．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值为2.又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：2Thankyouforwatching