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当前位置:首页 > 医学/心理学 > 药学 > (no.1)从2007年数学高考题谈函数的复习 (2)
知识改变命运百度提升自我用心爱心专心本文为自本人珍藏版权所有仅供参考从2007年数学高考题谈函数的复习石狮石光华侨联合中学林建森一、高考概述“函数”是高中数学中起联结和支撑作用的主干知识,也是进一步学习高等数学的基础。其知识、观点、思想和方法贯穿高中代数的全过程,同时也应用于几何问题的解决。近几年各省市高考都对函数进行重点考查,在选择题、填空题、解答题中都有函数试题,所占分值基本在总分的20%左右。其特点表现为:稳中求变,变中求新、求活,试题设计上从传统的套用定义、简单地使用性质,发展到了挖掘本质、活用性质,而且出现了不少创设新情境、给出新定义的信息、与实际密切联系的应用题,以及与其他知识综合交汇的能力题。由于函数知识点多、覆盖面广、思想丰富、综合性强,极易与其它知识(方程、数列等)建立相关联系,相互渗透和交叉。正因如此,历年高考以“函数”为主体内容的压轴题频频出现,且常考常新.特别是教材增加了“导数”和“向量”等内容之后,给函数问题注入了新的生机和活力,开辟了许多新的解题途径,同时也拓宽了高考对函数问题的命题空间,且重点考查考生缜密的逻辑推理能力、基本运算能力和综合解决问题的能力,考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、换元法、构造法等数学思想方法。下面就函数的专题复习进行具体分析。二、高考分析1.高考内容(1)映射、函数、函数的单调性、奇偶性;(2)反函数、互为反函数的图象间的关系;(3)指数概念的扩充,有理数幂的运算性质、指数函数;(4)对数、对数的运算性质,对数函数;(5)函数的应用2.考试要求(1)了解映射的概念,理解函数的概念。(2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单的函数单调性、奇偶性的方法。(3)了解反函数的概念及互为反函数的图像间的关系,会求一些简单函数的反函数。(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质。(5)理解对数的概念,掌握对指的运算性质,掌握对数函数的概念、图像和性质。(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际应用问题。3.考试的重点、难点及热点重点是:一要加深对函数及其概念、性质的理解与应用;二要抓住含参量的函数问题,掌握含参量的分离、集中、代换、化归、分类等解题方法与技巧,从而提高综合解题能力。难点是:函数与方程、不等式、三角、数列、导数等知识的综合问题。热点是:函数的图象、图象的变换及依托二次函数把其他数学知识联系起来的综合题。4.考试的题型、分值及难度从近几年的全国各省市高考题来看,一般是“三小一大”的题型格局,分值约占20%,其中选择题、填空题属于容易题,解答题一般都是中等以上难度的综合题,具有较高的区分度和选拔功能。5.命题趋向(1)全方位。近几年来的高考题中,函数的所有知识点都考过,虽然近几年不强调知识的覆盖率,但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减少。(2)多层次。在每年高考题中,函数题抵档、中档、高档难度都有,且选择、填空、解答题题型齐全,低档题难度一般仅涉及函数本身的内容;中、高档难度题多为综合程度较大知识改变命运百度提升自我用心爱心专心的问题,或是多种方法的渗透。(3)巧综合。为了突出函数在中学数学的主线地位,近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透,加大了以函数为载体的多种方法、多种能力的综合程度。(4)变角度。出于“立意”和创设情景的需要,函数试题设置问题的角度和方式也不断创新,重视函数思想的考查,加大了函数应用题、探索题和信息题的考查力度,从而使函数考题显得新颖、生动、灵活。三、试题评析1.立足课本,抓住基本知识的落实,基本方法的再认识,基本技能的掌握例1、(2007天津高考题)设12log3a,0.213b,132c,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac【评析】高考对有理数指数幂、对数的运算都有较高的要求,但在命题时,很少单独命制考查它们运算的试题,而是把这些运算置于指数函数与对数函数的大环境中来考查,该试题利用指数函数与对数函数的基本性质来比较有理数指数幂、对数的大小,此题型在课本教材例题、习题均出现。例2、(2007安徽高考题)下列函数中,反函数是其自身的函数为()(A)),0[,)(2xxxf(B)),(,)(3xxxf(C)),(,)(3xexf(D)),0(,1)(xxxf【评析】以反函数为考点,考查反函数概念,求法和性质,从而补充考查函数的相关性质(在近几年的各地高考无一不考)。例3、(2007北京高考题)对于函数①()lg(21)fxx,②2()(2)fxx,③()cos(2)fxx,判断如下三个命题的真假:命题甲:(2)fx是偶函数;命题乙:()fx在(),上是减函数,在(2),上是增函数;命题丙:(2)()fxfx在(),上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是()A.①③B.①②C.③D.②【解析】:一一验证,即可以作出判断,选(D)【评析】本题虽是常规,但在平平淡淡中全面考查了二次函数、对数、三角函数等重要的基本初等函数,综合考查了这些函数的定义域、单调性、奇偶性等性质。从以上的高考题可以看出,高考函数基础试题常以客观题的形式出现,起点低,重基础,其考查特点一是以基本初等函数为载体,全面考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、函数图象变换和反函数性质的应用等基础知识;二是每道试题至少考查两个知识点,为此,我们应立足教材和基础,搞好以函数概念、性质及其应用为主线的复习。在以思维能力为核心,全面考查各种能力的命题导向下,近几年的高考试题越来越突出贴近教材考双基的风格。许多题目取材于课本的基本题或基本题的改造,即使是综合题也是由若干个基础题知识改变命运百度提升自我用心爱心专心的整合加工而成。因此,我们在复习过程中应充分发挥课本教材的导向性和示范性作用,通过对课本题目改变设问方式,增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能,现行的课本一般是常规解答题,应从选择、填空、探索等题型功能上作些思考,以背景、现实、来源等方面多做解释。2.重视数学思想和数学方法的训练,强化思维过程,提高理性思维能力,注重通性通法。例4、(2007广东高考题)已知a是实数,函数2()223fxaxxa,如果函数()yfx在区间[-1,1]上有零点,求实数a的取值范围。解析1:函数()yfx在区间[-1,1]上有零点,即方程2()223fxaxxa=0在[-1,1]上有解,a=0时,不符合题意,所以a≠0,方程f(x)=0在[-1,1]上有解=(1)(1)0ff或(1)0(1)048(3)01[1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或a≥1.所以实数a的取值范围是372a或a≥1.解析2:a=0时,不符合题意,所以a≠0,又∴2()223fxaxxa=0在[-1,1]上有解,2(21)32xax在[-1,1]上有解212132xax在[-1,1]上有解,问题转化为求函数22132xyx[-1,1]上的值域;设t=3-2x,x∈[-1,1],则23xt,t∈[1,5],21(3)217(6)22tyttt,设2277().'()tgttgttt,[1,7)t时,'()0gt,此函数g(t)单调递减,(7,5]t时,'()gt0,此函数g(t)单调递增,∴y的取值范围是[73,1],∴2()223fxaxxa=0在[-1,1]上有解1a∈[73,1]1a或372a。【评析】此题是一个含参的一元二次函数零点问题,主要考查二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识,考查数形结合、分类与整合的思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力,对思维的严谨和全面性要求较高,解法多样,通过对参数的讨论和概括,深入地考查了学生的抽象概括能力。因此,我们在复习过程中,应重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,弄清数学思想方法在解数学问题中的意义和作用,研究运用不同的思维方法解同一数学问题的多种途径。3.突出能力,注重整合,构建知识的系统性和整体性,突出知识之间的交叉、渗透和综合的训练例5、(2007山东高考题)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.(Ⅰ)当b21时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(Ⅱ)求函数f(x)的极值点;知识改变命运百度提升自我用心爱心专心(Ⅲ)证明对任意的正整数n,不等式ln(3211)11(nnn)都成立解:函数2()ln(1)fxxbx的定义域为1,.222'()211bxxbfxxxx,令2()22gxxxb,则()gx在1,2上递增,在11,2上递减,min11()()22gxgb.当12b时,min1()02gxb,2()220gxxxb在1,上恒成立.'()0,fx即当12b时,函数()fx在定义域1,上单调递增。(II)分以下几种情形讨论:(1)由(I)知当12b时函数()fx无极值点.(2)当12b时,212()2'()1xfxx,11,2x时,'()0,fx1,2x时,'()0,fx12b时,函数()fx在1,上无极值点。(3)当12b时,解'()0fx得两个不同解11122bx,21122bx.当0b时,111212bx,211212bx,121,,1,,xx此时()fx在1,上有唯一的极小值点21122bx.知识改变命运百度提升自我用心爱心专心当102b时,12,1,,xx'()fx在121,,,xx都大于0,'()fx在12(,)xx上小于0,此时()fx有一个极大值点11122bx和一个极小值点21122bx.综上可知,0b时,()fx在1,上有唯一的极小值点21122bx;102b时,()fx有一个极大值点11122bx和一个极小值点21122bx;12b时,函数()fx在1,上无极值点。(III)当1b时,2()ln(1).fxxx令332()()ln(1),hxxfxxxx则32'3(1)()1xxhxx在0,上恒正,()hx在0,上单调递增,当0,x时,恒有()(0)0hxh.即当0,x时,有32ln(1)0,xxx23ln(1)xxx,对任意正整数n,取1xn得23111ln(1)nnn【评析】此题以对数函数为载体,内容是函数知识和不等式知识的一个结合体,考查了导熟有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质,不仅体现教材改革的一种理念,也是初等数学与高等数学一个很好的衔接点。该题解答中融合了函数与方程思想,转化与化归思想,分类与整合思想(针对参数的取值对函数单调区间及对函数的极值产生影响的讨论)等这些考试大纲要求较高的数学思想方法,不但突出了能力的考查,同时也注意了高考重点与热点的考查,达到了知识内容考查与思想方法考查相结合之目的。函数的综合应用是每年高考的必考内容。它以基本初等函数知识为载体,融代数推理、导数和其他章节知识等问题于一体,以考查函数性质及其应用为目标,以考查综合解题能力和数学应用意识为宗旨。预计这也是今后函数综合题的考查特点和命题趋势。4.关注生活、注重建模,加强数学应用,提高学生的数学实践能力和应用能力例6、(2007福建高考题)某分公司经销
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