(典型题)2014高考数学二轮复习_知识点总结_函数、基本初等函数的图象与性质

1函数、基本初等函数的图象与性质1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y＝ax(a0，a≠1)与对数函数y＝logax(a0，a≠1)的图象和性质，分0a1，a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α0，α0两种情况．4．熟记对数式的五个运算公式loga(MN)＝logaM＋logaN；logaMN＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝logbNlogba(a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0)．提醒：logaM－logaN≠loga(M－N)，logaM＋logaN≠loga(M＋N)．5．与周期函数有关的结论(1)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝|a－b|.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a.(3)若f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx，则f(x)是周期函数，其中一个周期是T＝2a.提醒：若f(x＋a)＝f(－x＋b)(a≠b)，则函数f(x)关于直线x＝a＋b2对称.2考点一函数及其表示例1(1)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝fxlnx的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)答案D解析由函数y＝f(x)的定义域是[0,2]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤2且x0，x≠1，故x∈(0,1)．(2)已知函数f(x)＝log3x，x02x，x≤0，则f(f(19))等于()A．4B.14C．－4D．－14答案B解析因为190，所以f(19)＝log319＝－2，故f(－2)＝2－2＝14.(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．(2)求函数值时应注意形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f(x)＝2x，x≥4，fx＋，x4，则f(log23)等于()A．3B．4C．16D．24(2)已知函数f(x)＝2＋log3x(1≤x≤9)，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为()A．33B．22C．13D．6答案(1)D(2)C解析(1)f(log23)＝f(log23＋3)＝f(log224)＝2log224＝24.(2)依题意得，y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝log23x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3，因为1≤x≤9，且1≤x2≤9，所以1≤x≤3，3所以0≤log3x≤1，作出图象知，当log3x＝1时，函数y取得最大值13.考点二函数的性质例2(1)(2012·福建)设函数D(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则下列结论错误的是()A．D(x)的值域为{0,1}B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数答案C解析利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得．由已知条件可知，D(x)的值域是{0,1}，选项A正确；当x是有理数时，－x也是有理数，且D(－x)＝1，D(x)＝1，故D(－x)＝D(x)，当x是无理数时，－x也是无理数，且D(－x)＝0，D(x)＝0，即D(－x)＝D(x)，故D(x)是偶函数，选项B正确；当x是有理数时，对于任一非零有理数a，x＋a是有理数，且D(x＋a)＝D(x)＝1，当x是无理数时，对于任一非零有理数b，x＋b是无理数，所以D(x＋b)＝D(x)＝0，故D(x)是周期函数，但不存在最小正周期，选项C不正确；由实数的连续性易知，不存在区间I，使D(x)在区间I上是增函数或减函数，故D(x)不是单调函数，选项D正确．(2)设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈0，12时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f－32的值等于________．答案－14解析根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f－32＝f12＝－14.所以f(3)＋f－32的值是0＋－14＝－14.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1,2]B.0，124C.12，2D．(0,2](2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是________．答案(1)C(2)－1解析(1)由题意知a0，又log12a＝log2a－1＝－log2a.∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(log12a)．∵f(log2a)＋f(log12a)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因f(x)在[0，＋∞)上递增．∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈12，2，选C.(2)依题意得f(0)＝0.当x0时，f(x)e0＋a＝a＋1.若函数f(x)在R上是单调函数，则有a＋1≥0，a≥－1，因此实数a的最小值是－1.考点三函数的图象例3(1)(2013·北京)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)等于()A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1(2)形如y＝b|x|－a(a0，b0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|图象的交点个数为n，则n＝________.答案(1)D(2)4解析(1)与y＝ex图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.(2)由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝1|x|－15＝1x－1x≥0且x，－1x＋1x0且x≠－，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)函数y＝xln(－x)与y＝xlnx的图象关于()A．直线y＝x对称B．x轴对称C．y轴对称D．原点对称(2)函数y＝log2|x|x的大致图象是()(3)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，x＋，x0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]答案(1)D(2)C(3)D解析(1)若点(m，n)在函数y＝xlnx的图象上，则n＝mlnm，所以－n＝－mln[－(－m)]，可知点(－m，－n)在函数y＝xln(－x)的图象上，而点(m，n)与点(－m，－n)关于原点对称，所以函数y＝xlnx与y＝xln(－x)的图象关于原点对称．(2)方法一由于log2|－x|－x＝－log2|x|x，所以函数y＝log2|x|x是奇函数，其图象关于原点对称．当x0时，对函数求导可知，函数图象先增后减，结合选项知选C.方法二0x1时，y0；x1时，根据y＝log2x与y＝x的变化快慢知x→＋∞时，y0且y→0.故选C.6(3)函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．②当a0时，只需在x0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a0使ln(x＋1)≥ax在x0上恒成立．③当a0时，只需在x0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.考点四基本初等函数的图象及性质例4(1)若函数f(x)＝log2x，x0，log12－x，x0，若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝15log30.3，则有()A．abcB．bacC．acbD．cab答案(1)C(2)C解析(1)方法一由题意作出y＝f(x)的图象如图．显然当a1或－1a0时，满足f(a)f(－a)．故选C.方法二对a分类讨论：当a0时，log2alog12a，即log2a0，∴a1.当a0时，log12(－a)log2(－a)，即log2(－a)0，∴－1a0，故选C.(2)∵a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝(15)log30.3＝5log3313，根据y＝ax且a＝5，知y是增函数．又∵log23.4log33131,0log43.61，∴5log23.4(15)log30.35log43.6，即acb.(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，7重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较