最新人教版新九年级数学上册知识点总结史上最全

袀数学上册知识点总结衿21.1一元二次方程蒇知识点一一元二次方程的定义羂等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。芁注意一下几点：①②蚁只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。芆知识点二一元二次方程的一般形式莆一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。蚂知识点三一元二次方程的根肈使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。芈21.2降次——解一元二次方程莆21.2.1配方法肂知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）（2）螀如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a.（3）（4）肇直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。（5）（6）蒆用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（7）（8）蒃直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。芈知识点二配方法解一元二次方程袆通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。薆配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）（2）薀把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；⑶⑷羀方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。薅21.2.2公式法蚅知识点一公式法解一元二次方程（1）（2）羁一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=aacbb242，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（3）（4）蒈一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。（5）（6）蚈公式法解一元二次方程的具体步骤：①②螅方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值，注意符号；莂③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。膀知识点二一元二次方程根的判别式莇式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.袅△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根螃一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根薈根的判别式膆△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根羅21.2．3因式分解法袀知识点一因式分解法解一元二次方程（1）（2）芀把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（3）（4）羅因式分解法的详细步骤：①②羅移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；③④芁把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；⑤⑥螇令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；⑦⑧羇解一元一次方程即可得到原方程的解。肅知识点二用合适的方法解一元一次方程蚁方法名称葿理论依据螆适用范围膅直接开平方法肂平方根的意义羇形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0)薅配方法芅完全平方公式薃所有一元二次方程虿公式法薈配方法莄所有一元二次方程蚀因式分莁当ab=0，则a=0莇一边为0，另一边易于分解法或b=0解成两个一次因式的积的一元二次方程。蒄21.2.4一元二次方程的根与系数的关系肁若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.衿若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，ab,x1x2=ac肆22.3实际问题与一元二次方程薄知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）（2）蒂审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（3）（4）薁设：是指设元，也就是设出未知数。（5）（6）袅列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（7）（8）薄解：就是解方程，求出未知数的值。（9）（10）袃验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（11）（12）羈答：写出答案。袈知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1）（2）蚄数字问题罿三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。蚀三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。蚆三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.螄（2）增长率问题莀设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1x）2=b。膈（3）利润问题蒅利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率袄（4）图形的面积问题螁根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。袀二次函数知识点归纳及相关典型题蒈第一部分基础知识羄1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.膂2.二次函数2axy的性质莈（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.芇（2）函数2axy的图像与a的符号关系.肃①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；薃②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.莄（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.芀3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.莇4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.羄5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.螂6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.聿①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；蒇a相等，抛物线的开口大小、形状相同.莅②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.蒄7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.肂8.求抛物线的顶点、对称轴的方法薇（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.螆（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.羂（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.袁用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.蚇9.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用膇（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.蚃（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线蚀abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.螇（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.薇当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：肁①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.蚂以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.螇10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：螄函数解析式袃开口方向蒁对称轴袇顶点坐标膅当0a时薅开口向上膀当0a时羆开口向下薆0x（y轴）羃（0,0）罿0x（y轴）肆(0,k)羇(h,0)螅(h,k)羂(abacab4422，)膆11.用待定系数法求二次函数的解析式肄（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.膃（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.螁（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.芆12.直线与抛物线的交点蒅（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).袅（2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).薀（3）抛物线与x轴的交点薀二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：袆①有两个交点0抛物线与x轴相交；莂②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；薃③没有交点0抛物线与x轴相离.蚀（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点芆同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.肄（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.莁（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故螀第二十三章旋转蚇23.1图形的旋转蒂知识点一旋转的定义肀在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。袀我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。袄知识点二旋转的性质芄旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。衿理解以下几点：（1）（2）羀图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。芅知识点三利用旋转性质作图蚂旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：袂①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）聿③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④接：即连接到所连接的各点。蚆23.2中心对称莄知识点一中