(教师用书)2013-2014学年高中数学2.3.1双曲线的标准方程课后知能检测新人教B版选修2-1

1【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学2.3.1双曲线的标准方程课后知能检测新人教B版选修2-1一、选择题1．(2013·东营高二检测)方程x22＋m－y22－m＝1表示双曲线，则m的取值范围()A．－2＜m＜2B．m＞0C．m≥0D．|m|≥2【解析】∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0∴－2＜m＜2.【答案】A2．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.x29－y216＝1B.y29－x216＝1C.x29－y216＝1(x≤－3)D.x29－y216＝1(x≥3)【解析】由题意，应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．【答案】D3．(2013·泉州高二检测)已知定点A、B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值是()A.12B.32C.72D．52【解析】由题意知，动点P的轨迹是以定点A、B为焦点的双曲线的一支(如图)从图上不难发现，|PA|的最小值是图中AP′的长度，即a＋c＝72.【答案】C4．若椭圆x2m＋y2n＝1(m＞n＞0)和双曲线x2a－y2b＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－aB.12(m－a)C．m2－a2D.m－a【解析】由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2m.①由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a.②①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.【答案】A5．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程是()A.x22－y23＝1B.x23－y22＝1C．x2－y24＝1D.x24－y2＝1【解析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，由双曲线定义，知|m－n|2＝m2＋n2－2mn＝16.∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.【答案】D二、填空题6．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距为________．【解析】c2＝m2＋12＋4－m2＝16，∴c＝4,2c＝8.3【答案】87．(2013·郑州高二检测)设点P是双曲线x29－y216＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.【解析】由双曲线的标准方程得，a＝3，b＝4.于是c＝a2＋b2＝5.(1)若点P在双曲线的左支上，则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；(2)若点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.综上，|PF2|＝16或4.【答案】16或48．(2013·泰安高二检测)方程x24－k＋y2k－1＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：①曲线C不可能是圆；②若1＜k＜4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜52.其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)【解析】当4－k＝k－1＞0时，即k＝52时，曲线C是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k＜4且k≠52时，曲线C是椭圆，则②是假命题．根据双曲线定义与标准方程，③④是真命题．【答案】③④三、解答题9．求与双曲线x24－y22＝1有相同焦点且过点P(2,1)的双曲线的方程．【解】∵双曲线x24－y22＝1的焦点在x轴上．依题意，设所求双曲线为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．又两曲线有相同的焦点，∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6.①4又点P(2,1)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，∴4a2－1b2＝1.②由①、②联立，得a2＝b2＝3，故所求双曲线方程为x23－y23＝1.10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k＜0时，方程为y24－x2－4k＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0＜k＜1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k＞1时，方程为x24k＋y24＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4s，已知各观测点到该中心的距离都是1020m，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为340m/s，相关各点均在同一平面内)．【解】如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(－1020,0)，B(1020,0)，C(0,1020)．设P(x，y)为袭击位置，则|PB|－|PA|＝340×4＜|AB|.由双曲线定义，知点P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，且a＝680，c＝1020，所以b2＝10202－6802＝5×3402.所以双曲线方程为x26802－y25×3402＝1(x≤－680)．①又|PA|＝|PC|，因此P在直线y＝－x上，5把y＝－x代入①式，得x＝－6805.所以P(－6805，6805)，|OP|＝68010(m)．故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°，距指挥中心68010m处.