(教案1)集合与函数概念复习

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第1页共5页版权所有少智报·数学专页新课标高一数学专题讲座函数的性质讲座时间：90分钟授课：1．函数图象的对称性（1）奇函数与偶函数：奇函数图象关于坐标原点对称，对于任意xD，都有()()fxfx成立；偶函数的图像关于y轴对称，对于任意xD，都有()()fxfx成立。（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图象关于直线yx对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线yx对称。（3）若函数满足()(2)fxfax，则()fx的图象就关于直线xa对称；若函数满足()(2)fxfax，则()fx的图像就关于点(,0)a对称。（4）互对称知识：函数()()yfxayfax与的图象关于直线xa对称。2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ayxax的图象和单调区间。3．函数的周期性对于函数()yfx，若存在一个非零常数T，使得当x为定义域中的每一个值时，都有()()fxTfx成立，则称()yfx是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1）若T是()yfx的周期，那么()nTnZ也是它的周期。（2）若()yfx是周期为T的函数，则()(0)yfaxba是周期为Ta的周期函数。（3）若函数()yfx的图像关于直线xaxb和对称，则()yfx是周期为2()ab的函数。（4）若函数()yfx满足()()(0)fxafxa，则()yfx是周期为2a的函数。4．高斯函数对于任意实数x，我们记不超过x的最大整数为[]x，通常称函数[]yx为取整函数。彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第2页共5页版权所有少智报·数学专页又称高斯函数。又记{}[]xxx，则函数{}yx称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。高斯函数的常用性质：对任意Rx，均有（1）1[][]1xxxx（2）对任意xR，函数{}yx的值域为[0,1)（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意121212,,,[][]xxRxxxx若则（4）若,,[][],{}{}nZxRxnnxnxx则有，后一个式子表明{}yx是周期为1的函数。（5）若,,[][][][][]1xyRxyxyxy则（6）若*,,[][]nNxRnxnx则二、综合应用例1．设()fx是R上的奇函数，(2)(),01(),fxfxxfxx当时，求(7.5)f的值。例2．设(),()fxgx都是定义在R上的奇函数，()()()2Fxafxbgx在区间(0,)上的最大值为5，求()(,0)Fx在上的最小值。彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第3页共5页版权所有少智报·数学专页例3．已知33sin20,,,,,cos(2)1444sin202xxaxyaRxyyya且则______________例4．设1,,aa均为实数，试求当变化时，函数(sin)(4sin)1sinay的最小值。例5．解方程：（1）2log(231)5xx（2）2323(2038)415284xxxxx例6．已知定义在R上的函数()fx满足()()()fxfyfxy，当0()0xfx时，(1)2f；（1）求证：()fx为奇函数；（2）求()fx在[3,3]上的最值；（3）当2t时,不等式2222(log)(loglog2)0fktftt恒成立，求实数k的取值范围。例7．设()fx是定义在Z上的一个实值函数，()fx满足彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第4页共5页版权所有少智报·数学专页()()2()()(1)0fxyfxyfxfyf①②，求证：()fx是周期为4的周期函数。例8．给定实数x，定义[]x为不大于x的最大整数，则下列结论中不正确的序号是（）[]0[]1()[]()[]xxxxfxxxfxxx①②③是周期函数④是偶函数三、强化训练：1．已知函数()fx定义在非负整数集上，且对任意正整数x，都有()(1)(1)fxfxfx。若(0)1992f，求(1992)f的值。2．函数()fx定义在实数集R上，且对一切实数x满足等式(2)(2),(7)(7).fxfxfxfx设()0fx的一个根是0x，记()01000,1000fx在区间中的根的个数是N，求N的最小值。3．若函数()yfx的图像关于直线xa对称，且关于点(,)Mbc对称，求证()fx是周期函数。4．求数列na的最小项，其中2222469(1,2,)(322)3naannnn5．设()fx是定义在(0,)上的增函数，对任意,(0,)xy，满足()()()fxyfxfy。（1）求证：①当(1,)()0()()()xxfxffxfyy时，②（2）若(5)1f，解不等式(1)(2)2.fxfx6．已知()(0,1)xfxaaa，求满足22(345)(231)fxxfxx的x的值。参考答案：例1：周期为4，(7.5)0.5f例2：记()()()Gxafxbgx，则()Gx为奇函数。()Fx在(,0)上的最小值为-1.例3：3()sinfttt在[,]44上为增函数，cos(2)1xy彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第5页共5页版权所有少智报·数学专页例4：3(1)(1sin)21sinaya，换元后研究函数3(1)()2afxxax的单调性当713a时min23(1)2(3(1))yaaxa；当73a时min5(1)(2)2yax例5：（1）构造2()log(231)xfxx，利用单调性得：5x构造递增函数3()4fxxx，利用2(2038)()fxxfx解得：29x例6：（2）maxmin()6;()6fxfx（3）221k例8：令1y得(1)(1)0()(2)4fxfxfxfxT例9：④强化训练：1．(1992)(0)1992ff2．4013．略4．最小项为69319a5．1(0,)49x6．1a时2,3xx；01a时23x