(文章)计算平面直角坐标系内图形的面积

鲁教版同步资源，每天的精彩！学数学用数学专页报第1页共2页搜资源上数学中国网计算平面直角坐标系内图形的面积在平面直角坐标系中，求一个三角形的面积，则需要根据三角形的各顶点的坐标，确定边长或高，进而求出三角形的面积．而对于四边形，五边形等图形面积的计算，则往往需要转化为三角形解决．一、计算三角形的面积例1如图1，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2，3)，B(4，0)，C(-2，0)．求△ABC的面积．分析:观察图形可知，BC在x轴上，BC的长为4-(-2)=6．要求三角形的面积，还应确定BC边上的高．点A到x轴的距离恰好点BC边上的高．解：因为BC=4-(-2)=6，BC边上的高就点A到横轴的距离，因为点A的坐标是(2，3)，所以BC边上的高是3，所以S△ABC=21×6×3=9．【评注】当三角形有一边在横轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点的横坐标差的绝对值;则这边上的高，等于另一顶点纵坐标的绝对值;当三角形的一边在纵轴上时，则以坐标轴上的边为底边，其长等于坐标轴上的两个顶点纵坐标差的绝对值，这边上的高，等于另一顶点的横最最坐标的绝对值．图1图2例2如图2，平面直角坐标系中，已知点A(-3，-2)，B(0，3)，C(-3，2)．求△ABC的面积．分析:在△ABC中只有边AC的长度是比较求得的，所以找到AC边上的高，而点A到纵坐标的距离恰好是AC边上的高．解:AC=|2-(-2)|=4，作AC边上的高BD，而BD就等于点A到纵轴的距离，因为点A的坐标是(-3，-2)，所以BD=|-3|=3，所以S△ABC=21×4×3=6．【评注】当三角形的一边和坐标轴平行时，这条边的长等于两个顶点横坐标(平行横轴)或纵坐标(平行纵轴)的差的绝对值;这边上的高等于平行坐标轴的边与坐标轴的距离．例3如图3，平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面积．分析:三角形的三边都不和坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求到此三角形的面积．解:过点A，C分别作平行于y轴的直线，与过B点作平行于x轴的直线交于点D、E．则四边形ACED为梯形．根据点A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)，可求得AD=4，CE=6，DB=4，BE=1，DE=5，所以△ABC的面积为：鲁教版同步资源，每天的精彩！学数学用数学专页报第2页共2页搜资源上数学中国网S△ABC=21(AD+CE)·DE-21AD·DB-21CE·BE=21(4+6)×5-21×4×4-21×6×1=14．【评注】当三角形的三边都不和坐标轴平行时，可将通过过三角形的顶点作坐标轴的平行线，将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积与直角三角形的面积差求解．图3图4例4如图4，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(4，2)，B(4，-2)，C(0，-4)，D(0，1)．求四边形ABCD的面积．分析:因为点A、B的横坐标相同，点CD在纵轴上，所以AB//CD，则四边形ABCD为梯形，可以过A作CD上的高AE，则AE的长就是点A到y轴的距离．解：因为CD=1-(-4)=5，AB=2-(-2)=4，AE=4，SABCD=21(AB+CD)·AE=21(5+4)×4=18．【评注】一般四边形的面积的计算，可将四边形的面积转化为特殊的四边形(如梯形)与特殊的三角形(如直角三角形)的面积和或差的形式计算．